diff --git a/1.3.3/Kotlyarov_M/Graphics/All_points.png b/1.3.3/Kotlyarov_M/Graphics/All_points.png new file mode 100644 index 00000000..2e13708c Binary files /dev/null and b/1.3.3/Kotlyarov_M/Graphics/All_points.png differ diff --git a/1.3.3/Kotlyarov_M/Graphics/All_points_psi_re.png b/1.3.3/Kotlyarov_M/Graphics/All_points_psi_re.png new file mode 100644 index 00000000..fb5d9b76 Binary files /dev/null and b/1.3.3/Kotlyarov_M/Graphics/All_points_psi_re.png differ diff --git a/1.3.3/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_1-3_lam.png b/1.3.3/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_1-3_lam.png new file mode 100644 index 00000000..52fe1b3e Binary files /dev/null and b/1.3.3/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_1-3_lam.png differ diff --git a/1.3.3/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_4-6_lin.png b/1.3.3/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_4-6_lin.png new file mode 100644 index 00000000..b479c8f5 Binary files /dev/null and b/1.3.3/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_4-6_lin.png differ diff --git a/1.3.3/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_4-6_tur.png b/1.3.3/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_4-6_tur.png new file mode 100644 index 00000000..5893863d Binary files /dev/null and b/1.3.3/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_4-6_tur.png differ diff --git a/1.3.3/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_loglog_4-6_tur.png b/1.3.3/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_loglog_4-6_tur.png new file mode 100644 index 00000000..dc934643 Binary files /dev/null and b/1.3.3/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_loglog_4-6_tur.png differ diff --git a/1.3.3/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_loglog_psi_re_lam.png b/1.3.3/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_loglog_psi_re_lam.png new file mode 100644 index 00000000..4891632a Binary files /dev/null and b/1.3.3/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_loglog_psi_re_lam.png differ diff --git a/1.3.3/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_psi_re_lam.png b/1.3.3/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_psi_re_lam.png new file mode 100644 index 00000000..26a0d486 Binary files /dev/null and b/1.3.3/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_psi_re_lam.png differ diff --git a/1.3.3/Kotlyarov_M/Pictures/Puaseil.png b/1.3.3/Kotlyarov_M/Pictures/Puaseil.png new file mode 100644 index 00000000..9e021452 Binary files /dev/null and b/1.3.3/Kotlyarov_M/Pictures/Puaseil.png differ diff --git a/1.3.3/Kotlyarov_M/Pictures/Ustanovka.png b/1.3.3/Kotlyarov_M/Pictures/Ustanovka.png new file mode 100644 index 00000000..fcf1be1e Binary files /dev/null and b/1.3.3/Kotlyarov_M/Pictures/Ustanovka.png differ diff --git a/1.3.3/Kotlyarov_M/main.pdf b/1.3.3/Kotlyarov_M/main.pdf new file mode 100644 index 00000000..c5a8a608 Binary files /dev/null and b/1.3.3/Kotlyarov_M/main.pdf differ diff --git a/1.3.3/Kotlyarov_M/main.tex b/1.3.3/Kotlyarov_M/main.tex new file mode 100644 index 00000000..cf9ce009 --- /dev/null +++ b/1.3.3/Kotlyarov_M/main.tex @@ -0,0 +1,670 @@ +\documentclass[a4paper]{article} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[russian,english]{babel} +\usepackage[T2A]{fontenc} +\usepackage[left=10mm, top=20mm, right=18mm, bottom=15mm, footskip=10mm]{geometry} +\usepackage{indentfirst} +\usepackage{amsmath,amssymb} +\usepackage[italicdiff]{physics} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{caption} +\usepackage{float} +\usepackage{caption} +\renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}} +\usepackage{tablefootnote} +\usepackage{footmisc} +\usepackage{textcomp} +\usepackage{multicol} +\usepackage[parfill]{parskip} +\usepackage[utf8]{inputenc}\newcommand{\approxtext}[1]{\ensuremath{\stackrel{\text{#1}}{\approx}}} +\graphicspath{{images/}} +\DeclareGraphicsExtensions{.pdf,.png,.jpg} +\usepackage{wrapfig} +\captionsetup{labelformat=empty} +\usepackage{caption} +\captionsetup[figure]{name=Рисунок} +\captionsetup[table]{name=Таблица} + +\title{\textbf{Отчет о выполненой лабораторной работе 1.3.3}} +\date{} +\author{Котляров Михаил, Б01-402} + +\begin{document} + +\maketitle + + \section{Введение} + + \textbf{Цель работы:}: экспериментально исследовать свойства течения газов по тонким трубкам при различных числах Рейнольдса; выявить область применимости закона Пуазейля и с его помощью определить коэффициент вязкости воздуха.\\ + + \textbf{Оборудование:} компрессор; газовый счетчик; спиртовой микроманометр; водяной манометр; трубки разной длины и диаметров. + + \section{Теоретические сведения} +\subsection{Течение Пуазейля} +Из опыта известно, что при достаточно малых числах +Рейнольдса течение в прямой трубе с гладкими стенками имеет ламинарный +характер. +\begin{figure}[h!] + \centering + \includegraphics[scale=0.5]{Pictures/Puaseil.png} + \caption{ + Рис. 1. К выводу формулы Пуазейля + } + \end{figure} +Выделим соосный трубе цилиндр некоторого радиуса $r$ и длины $dx$ (см. +Рис. 1). Поскольку при стационарном течении жидкость течёт без ускорения, +сумма всех сил, действующих на жидкость в цилиндре, должна быть равна +нулю. На жидкость внутри цилиндра действует направленная вдоль оси трубы +сила +\begin{equation*} + F_{1x} = -\pi r^2dP, +\end{equation*} +где $dP = P(x + dx) - P(x) < 0$ - разность давлений в сечениях на торцах +выделенного участка. На боковые поверхности цилиндра действует касательная сила вязкого трения +\begin{equation*} + F_{2x} = -\tau 2\pi rdx, +\end{equation*} +где согласно закону Ньютона касательное напряжение равно +\begin{equation*} + \tau = -\eta \frac{du}{dr}. +\end{equation*} +Из условия баланса сил $F_{1x} + F_{2x} = $ находим +\begin{equation*} + \frac{dP}{dx} = -\eta \frac{2du}{rdr} +\end{equation*} +В установившемся течении правая часть полученного выражения является +функцией только радиуса $r$. В левой части находится градиент давления, +который не зависит от $r$ вовсе, и, следовательно, обе части уравнения являются константами. Тогда, проводя интегрирование, приходим к следующему. Во-первых, давление в трубе является линейно убывающей функцией координаты +\begin{equation*} + P(x) = P_0 - \frac{\Delta P}{l}x, +\end{equation*} +где $\Delta P$ — перепад давления на участке длиной $l$, $P_0$ — давление в начале +участка (в точке $x = 0$). Во-вторых, профиль скорости является параболической функцией с максимумом на оси трубы +\begin{equation*} + u(r) = u_{max} - \frac{\Delta P}{4l}r^2. +\end{equation*} +В рассматриваемой задаче стенки неподвижны, поэтому имеем +\begin{equation*} + \left. u(r) \right|_{r = R} = 0, +\end{equation*} +\begin{equation*} + u_{max} = \frac{\Delta P}{4l}R^2. +\end{equation*} +\begin{equation*} + u(r) = \frac{\Delta P}{4l}(R^2 - r^2) +\end{equation*} +интегрируя $u(r)$по сечению трубы, получим объёмный расход жидкости в зависимости от перепада давления на концах: +\begin{equation*} + Q = \int_{0}^{R} u(r) \cdot 2\pi r\, dr = \frac{\pi R^4 \Delta P}{8\eta l}. + \eqno(1) +\end{equation*} +Это соотношение называют формулой Пуазейля. Заметим, что средняя скорость потока при пуазейлевском течении, как видно из (1), оказывается +вдвое меньше максимальной: +\begin{equation*} + \bar{u} \equiv \frac{Q}{\pi R^2} = \frac{u_{max}}{2}. +\end{equation*} +\subsection{Вязкость газов} +Рассмотрим механизм возникновения вязкости в газах. +Молекулы газа участвуют как в направленном движении со средней скоростью потока $u$, так и в хаотическом тепловом движении, характеризующимся +средней тепловой скоростью $\bar{v} = \sqrt{\frac{8k_{\text{Б}}T}{\pi m}}$ (здесь $m$ — масса молекулы). Молекулы могут свободно перемещаться между слоями и обмениваться друг с другом импульсами при столкновениях. Если в двух соседних слоях потоковыескорости различны, то такой обмен импульсом и приводит к эффективному возникновению силы трения между слоями. Исходя из приведенных соображений можно получить следующую +оценку для коэффициента вязкости идеального газа: +\begin{equation*} + \eta \sim \frac{1}{3}\rho \bar{v} \lambda, + \eqno(2) +\end{equation*} +где $\lambda$ — длина свободного пробега молекул газа относительно столкновений +друг с другом. Как известно из молекулярно-кинетической теории, длина пробега определяется эффективным («газокинетическим») диаметром молекул $d$ +как $\lambda \sim 1/(n\pi d^2)$, где $n$ — объёмная концентрация газа. Видно, что $\lambda$ обратно пропорциональна плотности газа, поэтому, как следует из (2), вязкость газа не +зависит от его плотности и определяется только температурой $T$. Данный +вывод может показаться парадоксальным, поскольку в более плотном газе +большее число молекул должно участвовать в передаче импульса между слоями, однако это компенсируется тем, что этот импульс передается на меньшее +расстояние. + +\subsection{Оценка турбулентного течения} +В качестве примера воспользуемся аналогией с молекулярно-кинетической теорией и рассмотрим следующую упрощенную модель турбулентного +течения. Примем, что флуктуации скорости в развитом турбулентном течении +по порядку величины совпадают со средней скоростью потока $u \sim \bar{u}$. При +этом элементы жидкости практически равномерно перемешиваются по сечению трубы, так что в качестве «длины пробега» жидкой частицы можно взять поперечный размер системы $R$. Тогда по аналогии с формулой (2) определим «турбулентную вязкость» как +\begin{equation*} + \eta_{\text{турб}} \sim \rho \bar{u} R. + \eqno(3) +\end{equation*} +Далее по аналогии с выводом формулы Пуазейля запишем баланс сил в потоке, откуда получим оценку для средней скорости течения: +\begin{equation*} + \eta_{\text{турб}}\frac{\bar{u}}{R} \cdot 2\pi rl \sim \pi R^2 \Delta P, +\end{equation*} +\begin{equation*} + \bar{u} \sim \frac{R^2 \Delta P}{\eta_{\text{турб}} l}. +\end{equation*} +Подставляя сюда (3), находим скорость $\bar{u} \sim \sqrt{\frac{R \Delta P}{\rho l}}$ +и, как следствие, расход: +\begin{equation*} + Q = \pi R^2 \bar{u} \sim R^{5/2}\sqrt{\frac{\Delta P}{\rho l}}. + \eqno(4) +\end{equation*} +Заметим, что эта теоретическая модель довольно груба и никак не учитывает сложную структуру турбулентного течения (например, не учитывается зависимость скорости потока $u$ от расстояния $r$ до оси трубы). + + +\section{Экспериментальная установка} +Схема экспериментальной установки изображена на Рис. 2. Поток воздуха +под давлением, немного превышающим атмосферное, поступает через газовый счётчик в тонкие металлические трубки. Воздух нагнетается компрессором, интенсивность его подачи регулируется краном К. Трубки снабжены +съёмными заглушками на концах и рядом миллиметровых отверстий, к которым можно подключать микроманометр. В рабочем состоянии открыта заглушка на одной (рабочей) трубке, микроманометр подключён к двум её выводам, а все остальные отверстия плотно закрыты пробками. +Перед входом в газовый счётчик установлен водяной U-образный манометр. Он служит для измерения давления газа на входе, а также предохраняет +счётчик от выхода из строя. При превышении максимального избыточного +давления на входе счётчика ($\sim$ 30 см вод. ст.) вода выплёскивается из трубки +в защитный баллон Б, создавая шум и привлекая к себе внимание экспериментатора. +\begin{figure}[h!] + \centering + \includegraphics[scale=0.5]{Pictures/Ustanovka.png} + \caption{ + Рис. 2. Экспериментальная установка + } + \end{figure} + +\section{Приборы и данные} +\begin{itemize} + \item Счетчик газовый барабанный модель ВИКС-1, погрешность измерения 1\% + \item Термогигрометр с функцией отображения давления testo 622, погрешность измерения давления 3 гПа, температуры - 0,4 $^\circ C$, влажности - 2\% в диапазоне от 0 до 90 \% + \item Микроманометр ММН-2400(5)-1б0, погрешность при различных K: 6 Па ($K = 0,2$), 9 Па ($K = 0,3$), 12 Па ($K = 0,4$), 18 Па ($K = 0,6$). +\end{itemize} + +\section{Выполнение} +\begin{enumerate} + +\item Начальные показания +\begin{equation*} + t_\text{н} = 27,7 ^\circ C, +\end{equation*} +\begin{equation*} + P_\text{н} = 996,9 \text{ гПа}, +\end{equation*} +\begin{equation*} + \varphi_\text{н} = 23,3 \%. +\end{equation*} +Показания в конце эксперимента +\begin{equation*} + t_\text{к} = 27,3 ^\circ C, +\end{equation*} +\begin{equation*} + P_\text{к} = 996,3 \text{ гПа}, +\end{equation*} +\begin{equation*} + \varphi_\text{к} = 21,2 \%. +\end{equation*} +где $t$ - температруа в комнате, $P$ - давление, $\varphi$ - относительная влажность.\\ +С учетом этих данных плотность спирта (концентрация 96\%) бралась средняя между $\rho_{27} = 0,80123 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$ и $\rho_{28} = 0,80043 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$ ($\rho_{\text{сп.залит.}} = 0,80083 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$). + +\item Предварительные оценки\\ +Оценим критический расход и перепад давлений для каждой трубки. Для этого примем вязкость воздуха $\eta = 2 \cdot 10^{-5} \text{Па}\cdot \text{с}$, число Рейнольдса $Re_\text{кр} \approx 10^3$. Первая трубка диаметром $3,90 \pm 0,05$ мм:\\ +\begin{equation*} + Q_\text{кр}^1 = \frac{\pi Re_\text{кр} R_{\text{газ}} T \eta R}{P \mu_{\text{воз}}} = \frac{3,1415 \cdot 10^3 \cdot8,31 \cdot 300,7 \cdot 2 \cdot10^{-5}\cdot \frac{3,9}{2} \cdot 10^{-3}}{99690 \cdot29 \cdot 10^{-3}} \approx 1,06 \cdot 10^{-4} \frac{\text{ м}^3}{c} = 6,35 \frac{\text{л}}{\text{мин}}, +\end{equation*} +1. $l = 0,5 \text{ м}$ + +\begin{equation*} + \Delta P_\text{кр}^1 = \frac{8 Q_\text{кр}^1 \eta l}{\pi R^4} = \frac{8 \cdot 1,06 \cdot 10^{-4}\cdot 2 \cdot10^{-5} \cdot 0,5}{3,1415 \cdot (\frac{3,9}{2}\cdot 10^{-3})^4} \approx 187 \text{ Па}. +\end{equation*} + +2. $l = 0,9 \text{ м}$: $\Delta P_\text{кр}^2 \approx 337 \text{ Па}. $ + +3. $l = 1,2 \text{ м}$: $\Delta P_\text{кр}^3 \approx 449 \text{ Па}. $ + +Вторая трубка диаметром $5,25 \pm 0,05$ мм: $Q_\text{кр}^2 \approx 8,55 \frac{\text{л}}{\text{мин}}$.\\ +1. $l = 0,5 \text{ м}$: $ \Delta P_\text{кр}^4 = \approx 77 \text{ Па}.$ + +2. $l = 0,4 \text{ м}$: $\Delta P_\text{кр}^5 \approx 62 \text{ Па}. $ + +3. $l = 0,3 \text{ м}$: $\Delta P_\text{кр}^6 \approx 46 \text{ Па}. $ + +Третья трубка диаметром $3,0 \pm 0,1$ мм: $Q_\text{кр}^3 \approx 4,89 \frac{\text{л}}{\text{мин}}$.\\ +1. $l = 0,2 \text{ м}$: $\Delta P_\text{кр}^7 = \approx 164 \text{ Па}.$ + +2. $l = 0,4 \text{ м}$: $\Delta P_\text{кр}^8 \approx 329 \text{ Па}. $ + +Оценим длину установления давления в трубках. +Первая трубка диаметром $3,90 \pm 0,05$ мм:\\ +\begin{equation*} + \l_{\text{уст}}^1 \approx 0,2 Re_\text{кр} R \approx 0,39 \text{ м} +\end{equation*} +Вторая трубка диаметром $5,25 \pm 0,05$ мм:\\ +\begin{equation*} + \l_{\text{уст}}^2 \approx 0,53 \text{ м} +\end{equation*} +Третья трубка диаметром $3,0 \pm 0,1$ мм:\\ +\begin{equation*} + \l_{\text{уст}}^3 \approx 0,30 \text{ м} +\end{equation*} + +\item Для трех трубок разных диаметров, меняя расположение микроманометра по длине трубки, будем менять расход сначала в пределах, когда течение еще ламинарное, а затем для турбулентного. Для каждого расхода будем фиксировать перепад давления. +Данные для ламинарных течений в левой колонке, для турбулентных течений - в правой. +\clearpage +\begin{multicols}{2} +%\scriptsize +\begin{center} + \begin{tabular}{|c|c|c|c|} + \hline + $Q, \frac{\text{л}}{\text{мин}} $& $\sigma_Q, \frac{\text{л}}{\text{мин}} $& $\Delta P \pm \sigma_{\Delta P}$, Па & $\varepsilon_{\Delta P}$, \% \\ + \hline + 1.352 & 0.014 & $37 \pm 6$ & 16.2 \\ \hline + 2.363 & 0.024 & $64 \pm 6$ & 9.3 \\ \hline + 2.894 & 0.029 & $78 \pm 6$ & 7.7 \\ \hline + 3.897 & 0.039 & $107 \pm 6$ & 5.6 \\ \hline + 4.468 & 0.045 & $134 \pm 6$ & 4.5 \\ \hline + 4.945 & 0.049 & $140 \pm 6$ & 4.3 \\ \hline + 5.483 & 0.055 & $162 \pm 6$ & 3.7 \\ \hline + \end{tabular} + \captionof{table}{Таблица 1. $d = 3,90 \pm 0,05$ мм; $l = 0,5$ м; $K = 0,2$} +\end{center} +\vspace{1em} +\begin{center} + \begin{tabular}{|c|c|c|c|} + \hline + $Q, \frac{\text{л}}{\text{мин}} $& $\sigma_Q, \frac{\text{л}}{\text{мин}} $& $\Delta P \pm \sigma_{\Delta P}$, Па & $\varepsilon_{\Delta P}$, \% \\ + \hline + 1.28 & 0.013 & $58 \pm 9$ & 15.4 \\ \hline + 2.788 & 0.028 & $120 \pm 9$ & 7.5 \\ \hline + 3.226 & 0.032 & $158 \pm 9$ & 5.7 \\ \hline + 3.581 & 0.036 & $175 \pm 9$ & 5.1 \\ \hline + 4.138 & 0.041 & $201 \pm 9$ & 4.5 \\ \hline + 4.58 & 0.046 & $210 \pm 9$ & 4.3 \\ \hline + 5.04 & 0.050 & $257 \pm 9$ & 3.5 \\ \hline + 5.452 & 0.055 & $292 \pm 9$ & 3.1 \\ \hline + \end{tabular} + \captionof{table}{Таблица 2. $d = 3,90 \pm 0,05$ мм; $l = 0,9$ м; $K = 0,3$} +\end{center} +\vspace{1em} +\begin{center} + \begin{tabular}{|c|c|c|c|} + \hline + $Q, \frac{\text{л}}{\text{мин}} $& $\sigma_Q, \frac{\text{л}}{\text{мин}} $& $\Delta P \pm \sigma_{\Delta P}$, Па & $\varepsilon_{\Delta P}$, \% \\ + \hline + 1.024 & 0.010 & $62 \pm 12$ & 19.2 \\ \hline + 2.236 & 0.022 & $140 \pm 12$ & 8.6 \\ \hline + 2.584 & 0.026 & $168 \pm 12$ & 7.2 \\ \hline + 3.212 & 0.032 & $206 \pm 12$ & 5.8 \\ \hline + 3.621 & 0.036 & $234 \pm 12$ & 5.1 \\ \hline + 4.404 & 0.044 & $292 \pm 12$ & 4.1 \\ \hline + 5.166 & 0.052 & $355 \pm 12$ & 3.4 \\ \hline + \end{tabular} + \captionof{table}{Таблица 3. $d = 3,90 \pm 0,05$ мм; $l = 1,2$ м; $K = 0,4$} +\end{center} +\vspace{1em} +\begin{center} + \begin{tabular}{|c|c|c|c|} + \hline + $Q, \frac{\text{л}}{\text{мин}} $& $\sigma_Q, \frac{\text{л}}{\text{мин}} $& $\Delta P \pm \sigma_{\Delta P}$, Па & $\varepsilon_{\Delta P}$, \% \\ + \hline + 2.58 & 0.026 & $19 \pm 6$ & 30.8 \\ \hline + 3.31 & 0.033 & $27 \pm 6$ & 22.0 \\ \hline + 5.399 & 0.054 & $45 \pm 6$ & 13.4 \\ \hline + 6.638 & 0.066 & $55 \pm 6$ & 11.0 \\ \hline + 4.485 & 0.045 & $37 \pm 6$ & 16.2 \\ \hline + 6.91 & 0.069 & $58 \pm 6$ & 10.3 \\ \hline + 5.116 & 0.051 & $43 \pm 6$ & 14.0 \\ \hline + \end{tabular} + \captionof{table}{Таблица 4. $d = 5,25 \pm 0,05$ мм; $l = 0,5$ м; $K = 0,2$} +\end{center} +\vspace{1em} +\begin{center} + \begin{tabular}{|c|c|c|c|} + \hline + $Q, \frac{\text{л}}{\text{мин}} $& $\sigma_Q, \frac{\text{л}}{\text{мин}} $& $\Delta P \pm \sigma_{\Delta P}$, Па & $\varepsilon_{\Delta P}$, \% \\ + \hline + 2.478 & 0.025 & $16 \pm 6$ & 38.5 \\ \hline + 3.383 & 0.034 & $23 \pm 6$ & 25.7 \\ \hline + 5.441 & 0.054 & $39 \pm 6$ & 15.4 \\ \hline + 4.226 & 0.042 & $29 \pm 6$ & 20.5 \\ \hline + 6.386 & 0.064 & $47 \pm 6$ & 12.8 \\ \hline + 6.964 & 0.070 & $51 \pm 6$ & 11.8 \\ \hline + 7.815 & 0.078 & $58 \pm 6$ & 10.3 \\ \hline + \end{tabular} + \captionof{table}{Таблица 5. $d = 5,25 \pm 0,05$ мм; $l = 0,4$ м; $K = 0,2$} +\end{center} +\vspace{1em} +\begin{center} + \begin{tabular}{|c|c|c|c|} + \hline + $Q, \frac{\text{л}}{\text{мин}}$ & $\sigma_Q, \frac{\text{л}}{\text{мин}}$ & $\Delta P \pm \sigma_{\Delta P}$, Па & $\varepsilon_{\Delta P}$, \% \\ + \hline + 7,083 & 0,071 & 308\footnotemark[1] $\pm 6$ & 1,9 \\ \hline + 7.943 & 0.079 & $385 \pm 9$ & 2.3 \\ \hline + 8.533 & 0.085 & $447 \pm 9$ & 2.0 \\ \hline + 9.395 & 0.094 & $540 \pm 9$ & 1.7 \\ \hline + 9.814 & 0.098 & $587 \pm 9$ & 1.5 \\ \hline + 10.052 & 0.101 & $610 \pm 9$ & 1.5 \\ \hline + 10.755 & 0.108 & $701 \pm 9$ & 1.3 \\ \hline + \end{tabular} + \captionof{table}{Таблица 9. $d = 3,90 \pm 0,05$ мм; $l = 0,5$ м; $K = 0,3$} +\end{center} +\vspace{1em} +\footnotetext[1]{Это давление рассчитывалось с $K = 0.2$, остальные с 0.3} +\begin{center} + \begin{tabular}{|c|c|c|c|} + \hline + $Q, \frac{\text{л}}{\text{мин}}$ & $\sigma_Q, \frac{\text{л}}{\text{мин}}$ & $\Delta P \pm \sigma_{\Delta P}$, Па & $\varepsilon_{\Delta P}$, \% \\ + \hline + 7.058 & 0.071 & $510 \pm 12$ & 2.4 \\ \hline + 7.799 & 0.078 & $686 \pm 12$ & 1.7 \\ \hline + 8.452 & 0.085 & $791 \pm 12$ & 1.5 \\ \hline + 8.793 & 0.088 & $857 \pm 12$ & 1.4 \\ \hline + 9.087 & 0.091 & $927 \pm 12$ & 1.3 \\ \hline + 9.319 & 0.093 & $978 \pm 12$ & 1.2 \\ \hline + 9.814 & 0.098 & $1064 \pm 12$ & 1.1 \\ \hline + \end{tabular} + \captionof{table}{\\Таблица 10. $d = 3,90 \pm 0,05$ мм; $l = 0,9$ м; $K = 0,4$} +\end{center} + + +\vspace{1em} +\begin{center} + \begin{tabular}{|c|c|c|c|} + \hline + $Q, \frac{\text{л}}{\text{мин}}$ & $\sigma_Q, \frac{\text{л}}{\text{мин}}$ & $\Delta P \pm \sigma_{\Delta P}$, Па & $\varepsilon_{\Delta P}$, \% \\ + \hline + 7.632 & 0.076 & $839 \pm 18$ & 2.1 \\ \hline + 8.113 & 0.081 & $950 \pm 18$ & 1.9 \\ \hline + 8.441 & 0.084 & $1020 \pm 18$ & 1.8 \\ \hline + 8.895 & 0.089 & $1125 \pm 18$ & 1.6 \\ \hline + 9.575 & 0.096 & $1288 \pm 18$ & 1.4 \\ \hline + 9.313 & 0.093 & $1235 \pm 18$ & 1.5 \\ \hline + 9.868 & 0.099 & $1398 \pm 18$ & 1.3 \\ \hline + \end{tabular} + \captionof{table}{Таблица 11. $d = 3,90 \pm 0,05$ мм; $l = 1,2$ м; $K = 0,6$} +\end{center} +\vspace{1em} +\begin{center} + \begin{tabular}{|c|c|c|c|} + \hline + $Q, \frac{\text{л}}{\text{мин}}$ & $\sigma_Q, \frac{\text{л}}{\text{мин}}$ & $\Delta P \pm \sigma_{\Delta P}$, Па & $\varepsilon_{\Delta P}$, \% \\ + \hline + 9.067 & 0.091 & $109 \pm 6$ & 5.5 \\ \hline + 9.735 & 0.097 & $134 \pm 6$ & 4.5 \\ \hline + 10.334 & 0.103 & $156 \pm 6$ & 3.8 \\ \hline + 11.379 & 0.114 & $185 \pm 6$ & 3.2 \\ \hline + 12.416 & 0.124 & $218 \pm 6$ & 2.7 \\ \hline + 13.158 & 0.132 & $249 \pm 6$ & 2.4 \\ \hline + 13.935 & 0.139 & $267 \pm 6$ & 2.2 \\ \hline + \end{tabular} + \captionof{table}{Таблица 12. $d = 5,25 \pm 0,05$ мм; $l = 0,5$ м; $K = 0,2$} +\end{center} +\vspace{1em} +\begin{center} + \begin{tabular}{|c|c|c|c|} + \hline + $Q, \frac{\text{л}}{\text{мин}}$ & $\sigma_Q, \frac{\text{л}}{\text{мин}}$ & $\Delta P \pm \sigma_{\Delta P}$, Па & $\varepsilon_{\Delta P}$, \% \\ + \hline + 9.305 & 0.093 & $103 \pm 6$ & 5.8 \\ \hline + 10.103 & 0.101 & $127 \pm 6$ & 4.7 \\ \hline + 11.228 & 0.112 & $154 \pm 6$ & 3.9 \\ \hline + 11.921 & 0.119 & $173 \pm 6$ & 3.5 \\ \hline + 12.679 & 0.127 & $193 \pm 6$ & 3.1 \\ \hline + 13.052 & 0.131 & $205 \pm 6$ & 2.9 \\ \hline + 13.583 & 0.136 & $222 \pm 6$ & 2.7 \\ \hline + \end{tabular} + \captionof{table}{Таблица 13. $d = 5,25 \pm 0,05$ мм; $l = 0,4$ м; $K = 0,2$} +\end{center} +\vspace{1em} +\end{multicols} +\begin{multicols}{2} +\begin{center} + \begin{tabular}{|c|c|c|c|} + \hline + $Q, \frac{\text{л}}{\text{мин}} $& $\sigma_Q, \frac{\text{л}}{\text{мин}} $& $\Delta P \pm \sigma_{\Delta P}$, Па & $\varepsilon_{\Delta P}$, \% \\ + \hline + 1.535 & 0.015 & $8 \pm 6$ & 77.0 \\ \hline + 2.738 & 0.027 & $14 \pm 6$ & 44.0 \\ \hline + 3.759 & 0.038 & $19 \pm 6$ & 30.8 \\ \hline + 4.331 & 0.043 & $23 \pm 6$ & 25.7 \\ \hline + 4.922 & 0.049 & $27 \pm 6$ & 22.0 \\ \hline + 6.245 & 0.062 & $35 \pm 6$ & 17.1 \\ \hline + 6.811 & 0.068 & $39 \pm 6$ & 15.4 \\ \hline + \end{tabular} + \captionof{table}{Таблица 6. $d = 5,25 \pm 0,05$ мм; $l = 0,3$ м; $K = 0,2$} +\end{center} +\vspace{1em} +\begin{center} + \begin{tabular}{|c|c|c|c|} + \hline + $Q, \frac{\text{л}}{\text{мин}} $& $\sigma_Q, \frac{\text{л}}{\text{мин}} $& $\Delta P \pm \sigma_{\Delta P}$, Па & $\varepsilon_{\Delta P}$, \% \\ + \hline + 1.118 & 0.011 & $10 \pm 6$ & 61.6 \\ \hline + 1.901 & 0.019 & $19 \pm 6$ & 30.8 \\ \hline + 1.26 & 0.013 & $12 \pm 6$ & 51.3 \\ \hline + 1.54 & 0.015 & $14 \pm 6$ & 44.0 \\ \hline + 2.347 & 0.023 & $23 \pm 6$ & 25.7 \\ \hline + 2.733 & 0.027 & $29 \pm 6$ & 20.5 \\ \hline + 3.197 & 0.032 & $37 \pm 6$ & 16.2 \\ \hline + \end{tabular} + \captionof{table}{Таблица 7. $d = 3,0 \pm 0,1$ мм; $l = 0,2$ м; $K = 0,2$} +\end{center} +\vspace{1em} +\begin{center} + \begin{tabular}{|c|c|c|c|} + \hline + $Q, \frac{\text{л}}{\text{мин}} $& $\sigma_Q, \frac{\text{л}}{\text{мин}} $& $\Delta P \pm \sigma_{\Delta P}$, Па & $\varepsilon_{\Delta P}$, \% \\ + \hline + 0.561 & 0.006 & $12 \pm 6$ & 51.3 \\ \hline + 1.107 & 0.011 & $25 \pm 6$ & 23.7 \\ \hline + 1.574 & 0.016 & $39 \pm 6$ & 15.4 \\ \hline + 1.86 & 0.019 & $47 \pm 6$ & 12.8 \\ \hline + 2.135 & 0.021 & $51 \pm 6$ & 11.8 \\ \hline + \end{tabular} + \captionof{table}{Таблица 8. $d = 3,0 \pm 0,1$ мм; $l = 0,4$ м; $K = 0,2$} +\end{center} +\vspace{1em} +\begin{center} + \begin{tabular}{|c|c|c|c|} + \hline + $Q, \frac{\text{л}}{\text{мин}}$ & $\sigma_Q, \frac{\text{л}}{\text{мин}}$ & $\Delta P \pm \sigma_{\Delta P}$, Па & $\varepsilon_{\Delta P}$, \% \\ + \hline + 10.947 & 0.109 & $92 \pm 6$ & 6.6 \\ \hline + 11.684 & 0.117 & $103 \pm 6$ & 5.8 \\ \hline + 12.177 & 0.122 & $113 \pm 6$ & 5.3 \\ \hline + 12.662 & 0.127 & $119 \pm 6$ & 5.0 \\ \hline + 13.137 & 0.131 & $129 \pm 6$ & 4.7 \\ \hline + 13.591 & 0.136 & $136 \pm 6$ & 4.4 \\ \hline + 14.102 & 0.141 & $144 \pm 6$ & 4.2 \\ \hline + \end{tabular} + \captionof{table}{Таблица 14. $d = 5,25 \pm 0,05$ мм; $l = 0,3$ м; $K = 0,2$} +\end{center} +\vspace{1em} +\begin{center} + \begin{tabular}{|c|c|c|c|} + \hline + $Q, \frac{\text{л}}{\text{мин}}$ & $\sigma_Q, \frac{\text{л}}{\text{мин}}$ & $\Delta P \pm \sigma_{\Delta P}$, Па & $\varepsilon_{\Delta P}$, \% \\ + \hline + 6.038 & 0.060 & $97 \pm 6$ & 6.2 \\ \hline + 6.803 & 0.068 & $113 \pm 6$ & 5.3 \\ \hline + 7.139 & 0.071 & $125 \pm 6$ & 4.8 \\ \hline + 8.375 & 0.084 & $156 \pm 6$ & 3.8 \\ \hline + 8.966 & 0.090 & $175 \pm 6$ & 3.4 \\ \hline + 9.56 & 0.096 & $203 \pm 6$ & 3.0 \\ \hline + 10.179 & 0.102 & $222 \pm 6$ & 2.7 \\ \hline + \end{tabular} + \captionof{table}{Таблица 15. $d = 3,0 \pm 0,1$ мм; $l = 0,2$ м; $K = 0,2$} +\end{center} +\vspace{1em} +\begin{center} + \begin{tabular}{|c|c|c|c|} + \hline + $Q, \frac{\text{л}}{\text{мин}}$ & $\sigma_Q, \frac{\text{л}}{\text{мин}}$ & $\Delta P \pm \sigma_{\Delta P}$, Па & $\varepsilon_{\Delta P}$, \% \\ + \hline + 5.202 & 0.052 & $187 \pm 6$ & 3.2 \\ \hline + 5.836 & 0.058 & $228 \pm 6$ & 2.6 \\ \hline + 6.194 & 0.062 & $245 \pm 6$ & 2.4 \\ \hline + 6.951 & 0.070 & $310 \pm 6$ & 1.9 \\ \hline + 7.662 & 0.077 & $364 \pm 6$ & 1.6 \\ \hline + \end{tabular} + \captionof{table}{Таблица 16. $d = 3,0 \pm 0,1$ мм; $l = 0,4$ м; $K = 0,2$} +\end{center} +\end{multicols} +\item Для каждой серии построим график зависимости $Q(\Delta P)$ по методу $\chi^2$. +Введем обозначения\\ +$w_i = \frac{1}{\sigma_i^2}\text{ - веса}$, $S = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i$, $S_x = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_ix_i$, $S_y = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_iy_i$, $S_{x^2} = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_ix_i^2$, $S_{xy} = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_ix_iy_i$. + +Тогда параметры $a$ и $b$ прямой $y = ax + b$ находятся как: +\begin{equation*} + a = \frac{S \cdot S_{xy} - S_x \cdot S_y}{S \cdot S_{x^2} - S_x^2}, +\end{equation*} +\begin{equation*} + b = \frac{S_{x^2} \cdot S_{y} - S_x \cdot S_{xy}}{S \cdot S_{x^2} - S_x^2}. +\end{equation*} +Погрешности коэффициентов выражаются так: +\begin{equation*} + \sigma_a^2 = \frac{S}{S \cdot S_{x^2} - S_x^2}, +\end{equation*} +\begin{equation*} + \sigma_b^2 = \frac{S_{x^2}}{S \cdot S_{x^2} - S_x^2}. +\end{equation*} +\begin{equation*} + \chi^2 = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{y_i - ax_i-b}{\sigma_i}\right)^2 +\end{equation*} +Величина $\frac{\chi^2}{dof}$, где $dof$ (degrees of freedom) равно к $n-2$ (количество точек минус количество параметров) характеризует степень согласия модели с данными. Если $\frac{\chi^2}{dof} \approx 1$, это означает хорошее согласие.\\ +$p$-value - это уровень значимости, статистический показатель. Это вероятность того, что нормально распределённая случайная величина примет значение больше по модулю, чем наблюдаемое. Если $p-value < 0.05$, это значит что данная модель плохо подходит для описания данных.\\ +Теперь перейдем к графикам +\clearpage +\begin{figure}[h!] +\centering{\includegraphics[width=0.75\textwidth]{Graphics/Graph_1-3_lam.png}} +\caption[]{\label{} Графики №1-3 Линейная зависимость $Q(\Delta P)$ при ламинарном течении} +\end{figure} +\clearpage +\begin{figure}[h!] +\centering{\includegraphics[width=0.75\textwidth]{Graphics/Graph_4-6_tur.png}} +\caption[]{\label{} Графики №4-6 Коренная зависимость $Q(\Delta P)$ при турбулентном течении} +\end{figure} +\clearpage +\begin{figure}[h!] +\centering{\includegraphics[width=0.75\textwidth]{Graphics/Graph_loglog_4-6_tur.png}} +\caption[]{\label{} Графики №7-9 $Q(\Delta P)$ в двойном логарифмическом масштабе при турбулентном течении} +\end{figure} +По ламинарным участкам с помощью угловых коэффициентов найдем вязкость воздуха $\eta$ + +\begin{equation*} + \eta = \frac{\pi R^4}{8kl} = \frac{3,1415 \cdot (\frac{3,9}{2} \cdot 10^{-3})^4 \cdot 60 \cdot 10^3}{8\cdot 0,034 \cdot 0,5} \approx 2.007 \cdot 10^{-5} \, \text{Па} \cdot \text{с} +\end{equation*} +\begin{equation*} + \sigma_\eta = \eta \sqrt{\left(\frac{4\sigma_R}{R}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_k}{k}\right)^2} = 2.007 \cdot 10^{-5} \sqrt{(0,05)^2 + (0,008)^2} \approx 0,206 \cdot 10^{-5} \, \text{Па} \cdot \text{с} +\end{equation*} + +\begin{table}[h!] + \centering + \begin{tabular}{|c|c|c|} + \hline + $\eta, \cdot 10^{-5} \text{Па} \cdot \text{с}$ & $\sigma_\eta, \cdot 10^{-5} \text{Па} \cdot \text{с}$ & $\varepsilon_\eta, \%$ \\ + \hline + 2.007 & 0.206 & 10.29 \\ \hline + 1.951 & 0.201 & 10.28 \\ \hline + 1.926 & 0.198 & 10.28 \\ \hline + 1.984 & 0.205 & 10.32 \\ \hline + 2.213 & 0.228 & 10.30 \\ \hline + 2.140 & 0.220 & 10.29 \\ \hline + 0.807 & 0.084 & 10.41 \\ \hline + 0.777 & 0.080 & 10.30 \\ \hline + \end{tabular} + \captionof{table}{Таблица 17. Экспериментальные значения коэффициентов воздуха для серий 1-8.} +\end{table} + +\item Для определения границы перехода от ламинарного участка к турбулентному найдем точки пересечения графика зависимости для ламинарного и турбулентного течения. Однако, как показали результаты, эти точки в некоторых сериях значительно меньше рассчитанных предварительно, поэтому лучше построить линейную зависимость для точек турбулентного течения (эта прямая будет секущей для графика и линейным приближением) и уже с помощью нее найдем точки пересечения. +\begin{figure}[h!] +\centering{\includegraphics[width=0.75\textwidth]{Graphics/Graph_4-6_lin.png}} +\caption[]{\label{} Графики №10-12 Линейная зависимость $Q(\Delta P)$ при турбулентном течении} +\end{figure} +\clearpage +\begin{figure}[h!] +\centering{\includegraphics[width=0.75\textwidth]{Graphics/All_points.png}} +\caption[]{\label{} График №13-15 $Q(\Delta P)$ с границами перехода от ламинарного участка к турбулентному} +\end{figure} + +По границами перехода от ламинарного участка к турбулентному рассчитаем число Рейнольдса $Re_\text{кр}$ +\begin{equation*} + Re_\text{кр} = \frac{P \mu_{\text{воз}} Q_\text{кр}}{R_\text{газ}T \eta \pi R} +\end{equation*} + +\begin{table}[h!] + \centering + \begin{tabular}{|c|c|} + \hline + \textnumero & $Re_\text{кр}$ \\ + \hline + 1 &908 \\ \hline + 2 &952 \\ \hline + 3 &939 \\ \hline + 4 & 892 \\ \hline + 5 & 785 \\ \hline + 6 &886 \\ \hline + 7 &2239 \\ \hline + 8 &2089 \\ + \hline + \end{tabular} + \captionof{table}{Таблица 18. Критические значений числа Рейнольдса для серий 1-8.} +\end{table} + +Рассчитаем вязкость воздуха в комнтае с учетом параметров окружающей среды. Вязксоть смеси находится по приближенной формуле как +\begin{equation*} + \eta = \omega_{\text{с.в.}}\eta_{\text{с.в.}} + \omega_{\text{пар}}\eta_{\text{пар}}, +\end{equation*} +где - $\omega_{\text{с.в.}}$ и $\omega_{\text{пар}}$ - молярные доли газов. Давление насыщеного водяного пара при нашей температуре $P_{\text{нас}} \approx 3780$ Па. Тогда +\begin{equation*} + \omega_{\text{пар}} = \frac{\varphi P_{\text{нас}}}{P_{\text{комн}}} \approx 0,0088, +\end{equation*} +\begin{equation*} + \omega_{\text{с.в.}} = 1 - \omega_{\text{пар}} \approx 0,9912. +\end{equation*} +По табличным значениям коэффициентов вязкости для сухого воздуха и водяного пара, взятым из книги Лабораторный практикум по общей физике Том I термодинамика и молекулярная физика под редакцией Максимычева, найдем итоговое табличное значение для вязкости воздуха в комнате +\begin{equation*} + \eta = 0,9912 \cdot 1,840 + 0,0088 \cdot 0,975 = 1,832 \cdot 10^{-5} \text{ Па} \cdot \text{с} +\end{equation*} +Табличное значение воздуха в комнате при наших условиях получилось $\eta_{\text{табл}} = 1,832 \cdot 10^{-5} \text{ Па} \cdot \text{с}$. + +\item Построим график экспериментальных зависимостей, отложив по оси абсцисс Рейнольдса $Re$, а по оси ординат — обезразмеренный перепад давления $\psi = \frac{R^5\Delta P R_{\text{газ}}T\pi^2}{P\mu_{\text{воз}}lQ^2}$. +\clearpage +\begin{figure}[h!] +\centering{\includegraphics[width=0.75\textwidth]{Graphics/All_points_psi_re.png}} +\caption[]{\label{} Графики №16-17 Зависимость $\psi(Re)$ с границами перехода от ламинарного участка к турбулентному} +\end{figure} +По графику видно, что ламинарный участок похож на график гиперболы. Убедимся в этом, построив двойной логарифмический масштаб. +\begin{figure}[h!] +\centering{\includegraphics[width=0.7\textwidth]{Graphics/Graph_loglog_psi_re_lam.png}} +\caption[]{\label{} Графики №18-19 Зависимость $\psi(Re)$ в двойном логарифмическом масштабе} +\end{figure} +\clearpage +Как видим, это действительно близкая зависимость к гиперболической с показателем $-1$. Это обосновано тем, что $\psi = \frac{8}{Re}$ для ламинарного участка, где применима формула Пуазейля. Построим эту зависимость +\begin{figure}[h!] +\centering{\includegraphics[width=0.70\textwidth]{Graphics/Graph_psi_re_lam.png}} +\caption[]{\label{} Графики №20-21 Зависимость $\psi(Re)$ на ламинарном участке} +\end{figure} +\clearpage +\end{enumerate} +\section{Результаты и обсуждения} +\begin{enumerate} +\item По графикам 1-3 видно, что расход прямо пропорционален перепаду давления, точки хорошо ложатся на прямую при ламинарном течении. Сравним полученные экспериментально коэффициенты вязкости с табличным значением $\eta_{\text{табл}} = 1,832 \cdot 10^{-5} \, \text{Па} \cdot \text{с}$. +\begin{table}[h!] + \centering + \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} + \hline + $\eta, 10^{-5} \, \text{Па} \cdot \text{с}$ & $\sigma_{\eta_{\text{эксп}}}, 10^{-5} \, \text{Па} \cdot \text{с}$ & $\sigma_{\eta_{\text{табл}}}, 10^{-5} \, \text{Па} \cdot \text{с}$ & $\varepsilon_{\eta_{\text{эксп}}}, \%$ & $\varepsilon_{\eta_{\text{табл}}}, \%$ \\ + \hline + 2,007 & 0,206 & 0,175 & 10,29 & 9,53 \\ \hline + 1,951 & 0,201 & 0,119 & 10,28 & 6,48 \\ \hline + 1,926 & 0,198 & 0,094 & 10,28 & 5,11 \\ \hline + 1,984 & 0,205 & 0,152 & 10,32 & 8,28 \\ \hline + 2,213 & 0,228 & 0,381 & 10,30 & 20,78 \\ \hline + 2,140 & 0,220 & 0,307 & 10,29 & 16,76 \\ \hline + 0,807 & 0,084 & 1,025 & 10,41 & 55,95 \\ \hline + 0,777 & 0,080 & 1,055 & 10,30 & 57,60 \\ \hline + \end{tabular} + \captionof{table}{Таблица 19. Сравнение экспериментальных и табличных погрешностей вязкости} +\end{table} +\\ +По таблице видно, что коэффициенты, полученные в сериях с трьетей трубкой отличаются более чем в 2 раза. Можем предположить, что это связано с тем, что длина трубки была меньше, чем рассчитанная длина установления давления, поэтому на этом участке течение не подчиняется закону Пуазейля. Также перепад давления на этой трубке довольно мал, что приводит к большой относительной погрешности. Именно по этим причинам в дальнейшем все рассчеты производились только для двух первых трубок. Остальные коэффициенты совпадают с табличными с хорошей точностью. Это подтверждает тот факт, что значение вязкости не зависит от диаметра трубки. +\item По графикам 4-9 можем убедиться, что при турбулентном течении расход действительно зависит от корня перепада давления. Об этом говорят значения $\frac{\chi^2}{dof}$ и $p$-value. +\item Поскольку определить точно границу перехода от ламинарного течения к турбулентному в данном опыте довольно трудно, мы воспользовались приближением и нашли эти точки как точки пересечения графиков. Однако в результате критические числа Рейнольдса для первых двух трубок действительно $\approx 10^3$. +\item Построив график $\psi(Re)$ мы убедились в том, что все точки лежат на единой кривой. С помощью графиков 16-21 видно, что на ламинарном участке $\psi$ обратно пропорционально $Re$, что говорит о применимости закона Пуазейля. +\end{enumerate} +\section{Выводы} +\begin{enumerate} +\item Провели измерения перепада давления от расхода газа для трех трубок разного диаметра и разной длины. Построили графики зависимости $Q(\Delta P)$, с помощью них нашли коэффициенты вязкости воздуха для наших параметров окружающей среды. Убедились в том, что вязкость не зависит от диаметра трубки. Оценили критические значения числа Рейнольдса. +\item Построили зависимость безразмерного перепада давления от числа Рейнольдса. Убедились, что все точки лежат на единой кривой. Проверили применимость закона Пуазейля для ламинарного течения. +\end{enumerate} + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/1.3.3/pdf/Kotlyarov_M.pdf b/1.3.3/pdf/Kotlyarov_M.pdf new file mode 100644 index 00000000..084d6109 Binary files /dev/null and b/1.3.3/pdf/Kotlyarov_M.pdf differ diff --git a/2.1.1/Kotlyarov_M/Graphics/graph1.png b/2.1.1/Kotlyarov_M/Graphics/graph1.png new file mode 100644 index 00000000..888ff5ba Binary files /dev/null and b/2.1.1/Kotlyarov_M/Graphics/graph1.png differ diff --git a/2.1.1/Kotlyarov_M/Graphics/graph2.png b/2.1.1/Kotlyarov_M/Graphics/graph2.png new file mode 100644 index 00000000..e5943985 Binary files /dev/null and b/2.1.1/Kotlyarov_M/Graphics/graph2.png differ diff --git a/2.1.1/Kotlyarov_M/Pictures/pic1.jpg b/2.1.1/Kotlyarov_M/Pictures/pic1.jpg new file mode 100644 index 00000000..e45fd9f3 Binary files /dev/null and b/2.1.1/Kotlyarov_M/Pictures/pic1.jpg differ diff --git a/2.1.1/Kotlyarov_M/Pictures/pic2.jpg b/2.1.1/Kotlyarov_M/Pictures/pic2.jpg new file mode 100644 index 00000000..99396e30 Binary files /dev/null and b/2.1.1/Kotlyarov_M/Pictures/pic2.jpg differ diff --git a/2.1.1/Kotlyarov_M/main.pdf b/2.1.1/Kotlyarov_M/main.pdf new file mode 100644 index 00000000..89dca11e Binary files /dev/null and b/2.1.1/Kotlyarov_M/main.pdf differ diff --git a/2.1.1/Kotlyarov_M/main.tex b/2.1.1/Kotlyarov_M/main.tex new file mode 100644 index 00000000..7fa90631 --- /dev/null +++ b/2.1.1/Kotlyarov_M/main.tex @@ -0,0 +1,249 @@ +\documentclass[a4paper]{article} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[russian,english]{babel} +\usepackage[T2A]{fontenc} +\usepackage[left=10mm, top=20mm, right=18mm, bottom=15mm, footskip=10mm]{geometry} +\usepackage{indentfirst} +\usepackage{amsmath,amssymb} +\usepackage[italicdiff]{physics} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{caption} +\usepackage{float} +\usepackage[parfill]{parskip} +\usepackage[utf8]{inputenc}\newcommand{\approxtext}[1]{\ensuremath{\stackrel{\text{#1}}{\approx}}} +\graphicspath{{images/}} +\DeclareGraphicsExtensions{.pdf,.png,.jpg} +\usepackage{wrapfig} +\captionsetup{labelformat=empty} + +\usepackage{caption} +\captionsetup[figure]{name=Рисунок} +\captionsetup[table]{name=Таблица} + +\title{\textbf{Отчет о выполненой лабораторной работе 2.1.1}} +\date{} +\author{Котляров Михаил, Б01-402} + + + +\begin{document} + +\maketitle + + \section{Введение} + + \textbf{Цель работы:} измерить повышение температуры воздуха в зависимости от мощности +подводимого тепла и расхода при стационарном течении через трубу; исключив тепловые потери, по результатам измерений определить теплоёмкость воздуха при постоянном давлении.\\ + \textbf{Оборудование:} теплоизолированная стеклянная трубка; электронагреватель; источник питания постоянного тока; амперметр, вольтметр (цифровые мультиметры); термопара, подключенная к микровольтметру; компрессор; газовый счётчик; +секундомер. + + \section{Теоретические сведения} +Теплоёмкость тела в некотором процессе определяется как их отношение: +\begin{equation} \tag{1} +C = \frac{\delta Q}{dT} +\end{equation} + +Рассмотрим газ, протекающий стационарно слева направо через трубу постоянного сечения, в которой установлен нагревательный элемент (см. рис. 1). Пусть за некоторое время $dt$ через калориметр прошла малая порция газа массой $dm=q \, dt$, где $q$ [кг/с] — массовый расход газа в трубе. Если мощность нагрева равна $N$, мощность тепловых потерь на обмен с окружающей средой $N_{\text{пот}}$, то порция + получила тепло $\delta Q = (N-N_{\text{пот}})dt$. С другой стороны, по определению теплоёмкости (1): $\delta Q = c \, dm \Delta T$, где $\Delta T = T_{2}-T_{1}$ — приращение температуры газа, и $c$ — удельная (на единицу массы) теплоёмкость газа в рассматриваемом процессе. При малых расходах газа и достаточно большом диаметре + трубы перепад давления на её концах мал, поэтому можно принять, что $p_{1} \approx p_{2} = p_{0}$, где $p_{0}$ — атмосферное давление. Следовательно, в условиях опыта измеряется удельная теплоёмкость при постоянном давлении $c_{p}$. Таким образом, получаем +\begin{equation*} + c_{p} = \frac{N-N_{\text{пот}}}{q\Delta T} + \eqno(2) +\end{equation*} + +\begin{figure}[h!] + \centering{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Pictures/pic1.jpg}} + \caption[]{\label{fig:1} Нагрев газа при течении по трубе} + \end{figure} + +\section{Экспериментальная установка} +Напряжение на нагревателе $U$ и ток $I$ через него регистрируются цифровыми +мультиметрами. Таким образом, мощность нагрева равна +\begin{equation*} + N = UI + \eqno(3) +\end{equation*} +\begin{figure}[h!] + \centering{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Pictures/pic2.jpg}} + \caption[]{\label{fig:2} Схема экспериментальной установки} +\end{figure} +Для измерения разности температур $\Delta T$ служит медно-константановая +термопара. Один спай термопары расположен в струе воздуха, входящего в +калориметр, и находится при комнатной температуре, а второй — в струе выходящего нагретого воздуха. Константановая проволока термопары расположена внутри калориметра, а медные проводники подключены к цифровому вольтметру. Возникающая в термопаре ЭДС $\varepsilon$ пропорциональна разности температур $\Delta T$ спаев: + \begin{equation*} + \varepsilon =\beta \Delta T + \eqno(4) + \end{equation*} + +где $\beta = 40.7 \frac{мкВ}{К}$ — чувствительность медно-константановой термопары в рабочем диапазоне температур (20–30 $^\circ C$ ). ЭДС регистрируется с помощью микровольтметра. + +Объёмный расход равен $\frac{\Delta V}{\Delta t} $, массовый расход может быть найден как +\begin{equation*} + q = \rho_{0} \frac{\Delta V}{\Delta t} + \eqno(5) +\end{equation*} + +где $\rho_{0}$ — плотность воздуха при комнатной температуре, которая в свою очередь может быть получена из уравнения Менделеева–Клапейрона: $\rho_{0}= \frac{\mu p_{0} }{R T_{0}},$ где $p_{0}$ — атмосферное давление, $T_{0}$ — комнатная температура (в Кельвинах), $\mu = 29,0 {г/моль}$ — средняя молярная масса (сухого) воздуха. +Можно предположить, что при небольшом нагреве ($\Delta T \ll T_{0}$) мощность потерь тепла $N_{пот}$ прямо пропорциональна разности температур: +\begin{equation*} + N_{\text{пот}} = \alpha \Delta T + \eqno(6) +\end{equation*} + +где $\alpha$ — некоторая константа. При этом условии основное соотношение (2) принимает вид +\begin{equation*} + N = (c_{p}q +\alpha)\Delta T + \eqno(7) +\end{equation*} + +Следовательно, при фиксированном расходе воздуха ($q = const$) подводимая мощность и разность температур связаны прямой пропорциональностью ($\Delta T(N)$ -- линейная функция). + +\section{Приборы и данные} +\begin{itemize} + \item вольтметр, измеряющий напряжение на термопаре, погрешность -- 0,0035\% + \item вольтметр, погрешность 0,5\% + \item Два мультиметра, погрешность измерения постоянного напряжения 0,03\%, погрешность мзмерения постоянного тока 0,2\% + \item Термогигрометр с функцией отображения давления, погрешность измерения температуры $\sigma_{T} = \pm 0,4 ^\circ C$, давления -- $\sigma_{p} = \pm 300 \text{Па}$ + \item Газосчетчик, класс точности -- 1,0 +\end{itemize} + +\section{Выполнение} + +\begin{enumerate} +\item Подготовим к работе газовый счетчик: проверим, заполнен ли он водой, установим счетчик по уровню. Убедимся, что при постоянном расходе его стрелка вращается равномерно. +\item Включим вольтметр и проверим, что напряжение на термопаре равно нулю. +\item Температура в комнате $T = 296,4\pm0,4K$, давление $p = 101050\pm300 \text{Па}$, влажность 29,5\% +\item Определим плотность воздуха в помещении +\begin{equation*} + \rho = \frac{p\mu}{RT} \stackrel{}{\approx} 1,1897 \pm 0,0038\frac{\text{г}}{\text{л}} +\end{equation*} +Массовый расход $q$ +\begin{equation*} + q_1 = \rho \frac{\Delta V}{\Delta t} = \frac{\mu p}{RT} \frac{\Delta V}{\Delta t_1} \stackrel{}{\approx} 0,1879 \pm 0,0003 \frac{\text{г}}{\text{c}} +\end{equation*} +Считая воздух идеальным двухатомным газом, определим теоретическое значение удельной теплоемкости при постоянном давлении +\begin{equation*} + c_{p}^{теор} = \frac{3.5R}{\mu} \approx 1,003 \frac{\text{Дж}}{\text{г}\cdot K} +\end{equation*} +Оценим величину тока нагревателя, требуемого для нагрева воздуха на $\Delta T = 1 ^\circ C$ +\begin{equation*} + N \approx c_{p}^{теор} q \Delta T \approx 0,189 \text{Вт} +\end{equation*} +Сопротивление проволоки нагревателя $R = 37 \text{ Ом}$, искомый ток $I = \sqrt{\frac{N}{R}} \approx 71,47 \text{ мА}$ +\item Проведем измерение зависимости разности температур от мощности нагревателя $\Delta T(N)$ при расходе $q_1 = 0,1879 \pm 0,0006 \text{ }\frac{\text{г}}{\text{c}} (\varepsilon = 0,33\%)$. +\begin{table}[h!] + \caption{Измерение $\Delta T (N) \; {при} \; q_1 = 0,1879 \pm 0,0006 \frac{\text{г}}{\text{c}}$} + \begin{center} + \begin{tabular}{|*{6}{c|}} + \hline + \textnumero & $U, \text{B} $ & $\varepsilon, \text{мВ}$ & $I, \text{мА}$ & $\Delta T, ^\circ\text{C}$ & $N, \text{Вт} $\\ \hline + 1 & 2,55 & 0,039 & 71,47 & 0,96 & 0,182\\ \hline + 2 & 3,62 & 0,076 & 101,14 &1,87& 0,366\\ \hline + 3 &5,05& 0,143 &141,31 &3,51 &0,714\\ \hline + 4 & 6,27& 0,217 &175,36& 5,33& 1,100\\ \hline + 5 &6,95& 0,283 &199,9 &6,95& 1,389\\ \hline + 6 &7,78& 0,35& 223,3 &8,60& 1,737\\ \hline + \end{tabular} + \end{center} + \end{table} + + +\begin{figure}[h!] +\centering{\includegraphics[width=1\textwidth]{Graphics/graph1.png}} +\caption[]{\label{} График №1} +\end{figure} +Коэффициент наклона графика №1 $k_1 = 4,950 \pm 0,024 (\varepsilon = 0,49\%)$ + +\item Завершив первую серию измерений, охладим калориметр до комнатной температуры, достигнув нулевого напряжения на термопаре. + +\item Повторим измерения для другого расхода. $q_2 \approx 0,1054 \pm 0,0003\frac{\text{г}}{\text{c}} (\varepsilon = 0,33\%)$ +\clearpage +\begin{table}[h!] + \caption{Измерение $\Delta T (N) \; {при} \; q_2 = 0,1054 \pm 0,0003 \frac{\text{г}}{\text{c}}$} + \begin{center} + \begin{tabular}{|*{6}{c|}} + \hline + \textnumero & $U, \text{B} $ & $\varepsilon, \text{мВ}$ & $I, \text{мА}$ & $\Delta T, ^\circ\text{C}$ & $N, \text{Вт} $\\ \hline + 1 &1,9 &0,036& 53,13 &0,88 &0,101 \\ \hline + 2 &2,98 &0,082& 83,15 &2,01 &0,248\\ \hline + 3 &4,2 &0,163 &117,64 &4,00 &0,494\\ \hline + 4 &5,15 &0,241& 143,97& 5,92& 0,741\\ \hline + 5 &5,95 &0,325 &166,18 &7,99& 0,989\\ \hline + 6 &6,66 &0,405 &186,12&9,95 &1,240\\ \hline + \end{tabular} + \end{center} +\end{table} + + +\begin{figure}[h!] +\centering{\includegraphics[width=1\textwidth]{Graphics/graph2.png}} +\caption[]{\label{fig:3} График №2} +\end{figure} + +Коэффициент наклона графика №1 $k_2 = 8,044 \pm 0,022 (\varepsilon = 0,27\%)$ \newline + + + +\item Найдем $c_{p}$ и $\alpha$, используя формулу (7). +\begin{equation*} + c_{p} = \frac{\frac{1}{k_1}-\frac{1}{k_2}}{q_1-q_2} = 0,942 \pm 0,013 \frac{\text{Дж}}{г\cdot K} (\varepsilon = 1,38\%) +\end{equation*} +\begin{equation*} + \alpha = \frac{\frac{q_1}{k_2} - \frac{q_2}{k_1}}{q_1-q_2} = 0,0249 \pm 0,0037 \frac{\text{Вт}}{K}(\varepsilon = 14,79\%) +\end{equation*} + +\item По формуле (6) определим долю тепловых потерь $\frac{N_{\text{пот}}}{N}$в опыте + +\begin{table}[h!] + \caption{Доля тепловых потерь $\frac{N_{\text{пот}}}{N}$в 1 серии} + \begin{center} + \begin{tabular}{|*{6}{c|}} + \hline + $N, \text{Вт} $ & $N_{\text{пот}}, \text{Вт}$ & $\Delta N_{\text{пот}}, \text{Вт}$ & $\frac{N_{\text{пот}}}{N}, \%$ & $\Delta \frac{N_{\text{пот}}}{N}$ & $\varepsilon_{\frac{N_{\text{пот}}}{N}}, \%$\\ \hline + 0,182 &0,0239& 0,0035 &13,1 &0,038 &29,3\\ \hline + 0,366 &0,0466 &0,0069 &12,7 &0,032 &25,0\\ \hline + 0,714 &0,0876& 0,0130 &12,3& 0,027& 22,1\\ \hline + 1,100 &0,1329 &0,0197 &12,1 &0,025& 20,7\\ \hline + 1,389 &0,1734& 0,0257 &12,5 & 0,025& 20,1\\ \hline + 1,737 &0,2144& 0,0317& 12,3 & 0,024& 19,5\\ \hline + \end{tabular} + \end{center} +\end{table} + +\begin{table}[h!] + \caption{Доля тепловых потерь $\frac{N_{\text{пот}}}{N}$во 2 серии} + \begin{center} + \begin{tabular}{|*{6}{c|}} + \hline + $N, \text{Вт} $ & $N_{\text{пот}}, \text{Вт}$ & $\Delta N_{\text{пот}}, \text{Вт}$ & $\frac{N_{\text{пот}}}{N}, \%$ & $\Delta \frac{N_{\text{пот}}}{N}$ & $\varepsilon_{\frac{N_{\text{пот}}}{N}}, \%$\\ \hline + 0,101& 0,0221& 0,0033&21,8 & 0,075& 34,4\\ \hline + 0,248& 0,0502& 0,0074& 20,3 & 0,055& 27,3\\ \hline + 0,494& 0,0999& 0,0148& 20,2 & 0,048& 23,6\\ \hline + 0,741& 0,1476& 0,0218& 19,9 & 0,044& 22,0\\ \hline + 0,989& 0,1991& 0,0295&20,1 & 0,042& 21,0\\ \hline + 1,240& 0,2481& 0,0367& 20,0 & 0,041& 20,4\\ \hline + \end{tabular} + \end{center} +\end{table} + +\section{Итог} +Сравним полученное значение удельной теплоемкости воздуха с табличными значениями (сравниваем с сухим воздухом) + +\begin{table}[h!] + \caption{Сравнение } + \begin{center} + \begin{tabular}{|*{6}{c|}} + \hline + & $c_{p}, \frac{\text{Дж}}{г\cdot K}$ & $\Delta c_{p}, \frac{\text{Дж}}{г\cdot K}$ & $\varepsilon_{c_{p}}, \%$ \\ \hline + эксперементальное & 0,942& 0,013 &1,38\\ \hline + теоретическое&1,002 &0,059&5,97\\ \hline + табличное&0,992 &0,049 &5,03\\ \hline + \end{tabular} + \end{center} +\end{table} +\section{Выводы} +Используя оборудование экспериментальной установки и законы термодинамики, мы получили значение удельной теплоемкости воздуха при постоянном давлении. Оно равно $c_{p} = 0,942 \pm 0,013 \frac{\text{Дж}}{г\cdot K} (\varepsilon = 1,38\%)$. С табличным и теоретическим значениями оно расходится не более чем на 6\%. Могу предположить, что погрешность обусловлена погрешностью оборудования, а также теоретическими апроксимациями: мы считали, что воздух - идеальный двухатомный газ. Для установления идеального равновесия +требуется много времени, из-за чего результаты напряжения на термопаре не идеально точные. Также из-за влажности воздуха теоретическая удельная теплоемкость должна быть больше, что говорит о большем потенциальном расхождении. +Были получены примерные тепловые потери для каждой серии измерений. В первой потери составляют 12,5 \% в среднем (максимальная погрешность 29,3 \%), во второй 20,4\% (34,4\%). Как мы видим, потери увеличиваются с увеличением расхода воздуха. Высокая погрешность обусловлена неравновесностью системы, а также апроксимацией формулы для потерь. +\end{enumerate} +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/2.1.1/pdf/Kotlyarov_M.pdf b/2.1.1/pdf/Kotlyarov_M.pdf new file mode 100644 index 00000000..d11f245a Binary files /dev/null and b/2.1.1/pdf/Kotlyarov_M.pdf differ diff --git a/2.1.2/Kotlyarov_M/Graphics/graph1.png b/2.1.2/Kotlyarov_M/Graphics/graph1.png new file mode 100644 index 00000000..6e549e01 Binary files /dev/null and b/2.1.2/Kotlyarov_M/Graphics/graph1.png differ diff --git a/2.1.2/Kotlyarov_M/Graphics/graph2.png b/2.1.2/Kotlyarov_M/Graphics/graph2.png new file mode 100644 index 00000000..870fe8f6 Binary files /dev/null and b/2.1.2/Kotlyarov_M/Graphics/graph2.png differ diff --git a/2.1.2/Kotlyarov_M/Pictures/ustanovka.jpg b/2.1.2/Kotlyarov_M/Pictures/ustanovka.jpg new file mode 100644 index 00000000..cd46ba5b Binary files /dev/null and b/2.1.2/Kotlyarov_M/Pictures/ustanovka.jpg differ diff --git a/2.1.2/Kotlyarov_M/main.pdf b/2.1.2/Kotlyarov_M/main.pdf new file mode 100644 index 00000000..ec0468a2 Binary files /dev/null and b/2.1.2/Kotlyarov_M/main.pdf differ diff --git a/2.1.2/Kotlyarov_M/main.tex b/2.1.2/Kotlyarov_M/main.tex new file mode 100644 index 00000000..09c6e08c --- /dev/null +++ b/2.1.2/Kotlyarov_M/main.tex @@ -0,0 +1,295 @@ +\documentclass[a4paper]{article} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[russian,english]{babel} +\usepackage[T2A]{fontenc} +\usepackage[left=10mm, top=20mm, right=18mm, bottom=15mm, footskip=10mm]{geometry} +\usepackage{indentfirst} +\usepackage{amsmath,amssymb} +\usepackage[italicdiff]{physics} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{caption} +\usepackage{float} +\renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}} +\usepackage{tablefootnote} +\usepackage{footmisc} +\usepackage[parfill]{parskip} +\usepackage[utf8]{inputenc}\newcommand{\approxtext}[1]{\ensuremath{\stackrel{\text{#1}}{\approx}}} +\graphicspath{{images/}} +\DeclareGraphicsExtensions{.pdf,.png,.jpg} +\usepackage{wrapfig} +\captionsetup{labelformat=empty} +\usepackage{caption} +\captionsetup[figure]{name=Рисунок} +\captionsetup[table]{name=Таблица} + +\title{\textbf{Отчет о выполненой лабораторной работе 2.1.2}} +\date{} +\author{Котляров Михаил, Б01-402} + +\begin{document} + +\maketitle + + \section{Введение} + + \textbf{Цель работы:} : определить отношение $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ для воздуха и углекислого газа по измерению давления в стеклянном сосуде. + + \textbf{Оборудование:} стеклянный сосуд; U-образный жидкостный манометр (жидкость - вода); резиновая груша; газгольдер с углекислым газом; психрометр. + + \section{Экспериментальная установка и некоторые теоретические сведения} + + Используемая для опытов экспериментальная установка состоит из стеклянного сосуда А, снабженного краном К, и U-образного жидкостного манометра, измеряющего избыточное давление газа в сосуде. Схема установки показана на Рис. 1.\\ +\begin{figure}[h!] +\centering{\includegraphics[width=1\textwidth]{Pictures/ustanovka.jpg}} +\caption[]{\label{} Рис. 1. Экспериментальная установка} +\end{figure} + Избыточное давление создаётся с помощью резиновой груши, соединённой с сосудом трубкой с краном $K_1$. + В начале опыта в стеклянном сосуде А находится исследуемый газ при комнатной температуре $T_1$ и давлении $P_1$, несколько превышающем атмосферное давление $P_0$. После открытия крана К, соединяющего сосуд А с атмосферой, давление и температура газа будут понижаться. Это уменьшение температуры приближённо можно считать адиабатическим, поскольку $\Delta t_P \ll \Delta t_T$, $\Delta t_P$ и $\Delta t_T$ обозначают соответственно выравнивание давления и температуры.\\ + Обозначим состояние газа после повышения давления в сосуде и выравнивания температуры с комнатной индексом 1, сразу после открытия крана $K$ индексом 2, после закрытия крана $K$ и изохорного нагревания индексом 3. Из уравнений адиабаты и Клапейрона получим +\begin{equation*} + (\frac{P_1}{P_2})^{\gamma-1} = (\frac{T_1}{T_2})^{\gamma}. +\end{equation*} +По закону Гей-Люссака для изохорного процесса +\begin{equation*} + \frac{P_2}{T_2} = \frac{P_3}{T_3} = \frac{P_3}{T_1}. +\end{equation*} +С учетом того, что $P_1 = P_0 + \rho g h_1$, $P_2 = P_0$, $P_3 = P_0 + \rho g h_2$, +\begin{equation*} + \gamma = \frac{\ln(P_1/P_0 )}{\ln(P_1/P_3)}, +\end{equation*} +\begin{equation*} + \gamma = \frac{\ln(1 + \rho g h_1/P_0 )}{\ln(1 + \rho g h_1/P_0) - {\ln(1 + \rho g h_2/P_0)}} \approx \frac{h_1}{h_1 - h_2}. + \eqno(1) +\end{equation*} + + +\section{Выполнение} + +\subsection{Воздух} +\begin{enumerate} + + +\item Перед началом измерений оценим время установления равновесия. Для этого закроем кран $K$ и увеличим с помощью груши давление на 21,9 см.вод.ст.. Давление установилось примерно через 40 секунд, поэтому в дальнейших измерениях время установления равновесия бралось 40-50 с. + +\item Проведем теперь 3 серии измерения. Для каждого времени открытия $\Delta t$ будем нагнетать давление в сосуде, ждать пока давление перестанет меняться, фиксировать $\Delta h_1$. Затем откроем кран $K$ на время $\Delta t$, подождем, пока система придет в равновесие. Зафиксируем $\Delta h_2$. Эти действия проделаем 5-6 раз для трех диапазонов $\Delta t$. +\item Полученные данные приведены в следующих таблицах +\begin{table}[h!] + \centering + \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} + \hline + $h_1, \text{см}$ & $h_2, \text{см}$ & $\gamma$ & $\sigma_\gamma^{\text{сист}}$ & $\varepsilon_\gamma^{\text{сист}}, \%$ \\ + \hline + $14.9 \pm 0.2$ & $2.5 \pm 0.2$ & $1.202$ & $0.020$ & $1.64$ \\ \hline + $10.1 \pm 0.2$ & $1.9 \pm 0.2$ & $1.232$ & $0.031$ & $2.48$ \\ \hline + $8.3 \pm 0.2$ & $2.0 \pm 0.2$ & $1.317$ & $0.043$ & $3.27$ \\ \hline + $7.8 \pm 0.2$ & $1.6 \pm 0.2$ & $1.258$ & $0.041$ & $3.29$ \\ \hline + $7.9 \pm 0.2$ & $1.9 \pm 0.2$ & $1.317$ & $0.045$ & $3.43$ \\ \hline + \end{tabular} + \caption{Таблица 1. $\Delta t \approx 0,5 c$} +\end{table} + +\begin{table}[h!] + \centering + \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} + \hline + $h_1, \text{см}$ & $h_2, \text{см}$ & $\gamma$ & $\sigma_\gamma^{\text{сист}}$ & $\varepsilon_\gamma^{\text{сист}}, \%$ \\ + \hline + $19.1 \pm 0.2$ & $4.8 \pm 0.2$ & $1.336$ & $0.019$ & $1.44$ \\ \hline + $18.7 \pm 0.2$ & $4.8 \pm 0.2$ & $1.345$ & $0.020$ & $1.49$ \\ \hline + $18.5 \pm 0.2$ & $4.6 \pm 0.2$ & $1.331$ & $0.020$ & $1.48$ \\ \hline + $19.3 \pm 0.2$ & $4.8 \pm 0.2$ & $1.331$ & $0.019$ & $1.42$ \\ \hline + $19.4 \pm 0.2$ & $4.5 \pm 0.2$ & $1.302$ & $0.018$ & $1.38$ \\ \hline + $19.1 \pm 0.2$ & $4.6 \pm 0.2$ & $1.317$ & $0.019$ & $1.42$ \\ \hline + \end{tabular} + \caption{Таблица 2. $\Delta t \approx 0,5-1,5c$} +\end{table} + +\begin{table}[h!] + \centering + \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} + \hline + $h_1, \text{см}$ & $h_2, \text{см}$ & $\gamma$ & $\sigma_\gamma^{\text{сист}}$ & $\varepsilon_\gamma^{\text{сист}}, \%$ \\ + \hline + $20.2 \pm 0.2$ & $4.3 \pm 0.2$ & $1.270$ & $0.016$ & $1.29$ \\ \hline + $19.0 \pm 0.2$ & $4.2 \pm 0.2$ & $1.284$ & $0.018$ & $1.38$ \\ \hline + $18.9 \pm 0.2$ & $4.2 \pm 0.2$ & $1.286$ & $0.018$ & $1.39$ \\ \hline + $19.5 \pm 0.2$ & $4.3 \pm 0.2$ & $1.283$ & $0.017$ & $1.35$ \\ \hline + $19.5 \pm 0.2$ & $4.2 \pm 0.2$ & $1.275$ & $0.017$ & $1.34$ \\ \hline + \end{tabular} + \caption{Таблица 3. $\Delta t \approx 5 c$} +\end{table} + +\item Индексами 1, 2, 3 обозначены значения для соответствующих серий измерений. Средние значения показателей равны $\bar{\gamma}_1 = 1,265$, $\bar{\gamma}_2 = 1,327$, $\bar{\gamma}_3 = 1,279$. Погрешности: +\begin{equation*} + \sigma_\gamma^{\text{случ}} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(\bar{\gamma} - \gamma_i)^2}{n(n-1)}} +\end{equation*} +\begin{align} + \sigma_{\gamma_1}^{\text{случ}} &= 0,005 & \sigma_{\gamma_2}^{\text{случ}} &= 0,0003 & \sigma_{\gamma_3}^{\text{случ}} &= 0,0003 +\end{align} +\begin{equation*} + \sigma_\gamma^{\text{сист}} = max(\sigma_\gamma^{\text{сист}}) = 0,0451 +\end{equation*} +Поэтому случайными погрешностями в 2 и 3 сериях можно принебречь. +\begin{equation*} + \sigma_\gamma = \sqrt{{\sigma_\gamma^{\text{сист}}}^2 + {\sigma_\gamma^{\text{случ}}}^2} +\end{equation*} +\begin{align} + \sigma_{\gamma_1} &= 0,0454 & \sigma_{\gamma_2} &= 0,0451 & \sigma_{\gamma_3} &= 0,0451 +\end{align} + +\item Построим по МНК график зависимости показателя адиабаты для воздуха от времени открытия крана $\gamma(\Delta t)$. +\begin{figure}[h!] +\centering{\includegraphics[width=1\textwidth]{Graphics/graph1.png}} +\caption[]{\label{} График №1 Зависимость показателя адиабаты для воздуха от времени открытия крана $\gamma(\Delta t)$} +\end{figure} +\begin{equation*} + k = -0,001 \pm 0,008 +\end{equation*} +\begin{equation*} + \gamma_0 = 1,293 \pm 0,015 +\end{equation*} +По полученным параметрам прямой вычисли диапазон показателя адиабаты при $\Delta t$ = 0,1-0,2с. +\begin{equation*} + \gamma_{\text{воз}} = 1,293 +\end{equation*} +\begin{equation*} + \sigma_{\gamma_{\text{воз}}} = \sqrt{(\Delta t\sigma_k)^2 + \sigma_{\gamma_0}^2} = \sqrt{0,0008^2 + 0,015^2} = 0,015 +\end{equation*} +\begin{equation*} + \gamma_{\text{воз}} = 1,293 \pm 0,015 +\end{equation*} +\end{enumerate} + + +\subsection{Углекислый газ} + +Проделаем все то же самое для углекислого газа +\clearpage +\begin{table}[h!] + \centering + \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} + \hline + $h_1, \text{см}$ & $h_2, \text{см}$ & $\gamma$ & $\sigma_\gamma^{\text{сист}}$ & $\varepsilon_\gamma^{\text{сист}}, \%$ \\ + \hline + $9.0 \pm 0.2$ & $1.7 \pm 0.2$ & $1.233$ & $0.034$ & $2.79$ \\ \hline + $8.9 \pm 0.2$ & $1.9 \pm 0.2$ & $1.271$ & $0.037$ & $2.92$ \\ \hline + $9.1 \pm 0.2$ & $2.0 \pm 0.2$ & $1.282$ & $0.037$ & $2.88$ \\ \hline + $8.9 \pm 0.2$ & $1.9 \pm 0.2$ & $1.271$ & $0.037$ & $2.92$ \\ \hline + $8.9 \pm 0.2$ & $1.9 \pm 0.2$ & $1.271$ & $0.037$ & $2.92$ \\ \hline + \end{tabular} + \caption{Таблица 4. $\Delta t \approx 0,5 c$} +\end{table} + +\begin{table}[h!] + \centering + \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} + \hline + $h_1, \text{см}$ & $h_2, \text{см}$ & $\gamma$ & $\sigma_\gamma^{\text{сист}}$ & $\varepsilon_\gamma^{\text{сист}}, \%$ \\ + \hline + $8.9 \pm 0.2$ & $1.9 \pm 0.2$ & $1.271$ & $0.037$ & $2.92$ \\ \hline + $8.9 \pm 0.2$ & $1.7 \pm 0.2$ & $1.236$ & $0.035$ & $2.83$ \\ \hline + $9.1 \pm 0.2$ & $1.9 \pm 0.2$ & $1.264$ & $0.036$ & $2.84$ \\ \hline + $9.1 \pm 0.2$ & $1.6 \pm 0.2$ & $1.213$ & $0.033$ & $2.71$ \\ \hline + $8.9 \pm 0.2$ & $1.9 \pm 0.2$ & $1.271$ & $0.037$ & $2.92$ \\ \hline + \end{tabular} + \caption{Таблица 5. $\Delta t \approx 0,5-1,5c$} +\end{table} + +\begin{table}[h!] + \centering + \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} + \hline + $h_1, \text{см}$ & $h_2, \text{см}$ & $\gamma$ & $\sigma_\gamma^{\text{сист}}$ & $\varepsilon_\gamma^{\text{сист}}, \%$ \\ + \hline + $8.9 \pm 0.2$ & $1.5 \pm 0.2$ & $1.203$ & $0.033$ & $2.74$ \\ \hline + $8.7 \pm 0.2$ & $1.5 \pm 0.2$ & $1.208$ & $0.034$ & $2.82$ \\ \hline + $9.1 \pm 0.2$ & $1.6 \pm 0.2$ & $1.213$ & $0.033$ & $2.71$ \\ \hline + $9.0 \pm 0.2$ & $1.5 \pm 0.2$ & $1.200$ & $0.032$ & $2.70$ \\ \hline + $9.1 \pm 0.2$ & $1.5 \pm 0.2$ & $1.197$ & $0.032$ & $2.67$ \\ \hline + \end{tabular} + \caption{Таблица 6. $\Delta t \approx 5 c$} +\end{table} + +\begin{align} + \sigma_{\gamma_1}^{\text{случ}} &= 0,0005 & \sigma_{\gamma_2}^{\text{случ}} &= 0,0008 & \sigma_{\gamma_3}^{\text{случ}} &= 0,0004 +\end{align} +\begin{equation*} + \sigma_\gamma^{\text{сист}} = max(\sigma_\gamma^{\text{сист}}) = 0,037 +\end{equation*} +\begin{align} + \sigma_{\gamma_1} &= 0,037 & \sigma_{\gamma_2} &= 0,037 & \sigma_{\gamma_3} &= 0,037 +\end{align} + +Построим по МНК график зависимости показателя адиабаты для углекислого газа от времени открытия крана $\gamma(\Delta t)$. +\clearpage +\begin{figure}[h!] +\centering{\includegraphics[width=1\textwidth]{Graphics/graph2.png}} +\caption[]{\label{} График №2 Зависимость показателя адиабаты для углекислого от времени открытия крана $\gamma(\Delta t)$} +\end{figure} + +\begin{equation*} + k = -0,0136 \pm 0,0001 +\end{equation*} +\begin{equation*} + \gamma_0 = 1,2721 \pm 0,0002 +\end{equation*} +По полученным параметрам прямой вычисли диапазон показателя адиабаты при $\Delta t$ = 0,1-0,2с. +\begin{equation*} + \gamma_{CO_2} = 1,2694 - 1,2708 +\end{equation*} +\begin{equation*} + \sigma_{\gamma_{\text{воз}}} = \sqrt{(\Delta t\sigma_k)^2 + \sigma_{\gamma_0}^2} = \sqrt{(1,2 \cdot 10^{-5})^2 + 0,0002^2} = 0,0002 +\end{equation*} +\begin{equation*} + \gamma_{CO_2} = (1,2694\text{\textdiv}1,2708) \pm 0,0002 +\end{equation*} + +\section{Результаты и обсуждения} +\begin{enumerate} +\item Сравним полученные показатели адиабаты для воздуха и углекислого газа с табличными данными\footnotemark[1]. Для этого рассчитаем молярную теплоемкость воздуха при постоянном давлении с учетом влажности. Давление примем за $P = 101,325$ кПа, температура в комнате $T = 297$ K, влажность $\varphi = 91 \%$. Молярные массы водяного пара и сухого воздуха равны $\mu_{\text{пар}} = 18,0156 \frac{\text{г}}{\text{моль}}$ и $\mu_{\text{воз}} = 28,96 \frac{\text{г}}{\text{моль}}$ соответственно. Плотность воздуха при данной температуре определим с помощью уравнения Менделеева-Клапейрона для идеального газа +\footnotetext[1]{Табличное данные взяты из книги Лабораторный практикум по общей физике Том I Термодинамика и молекулярная физика} +\begin{equation*} + \rho_{\text{воз}} = \frac{P\mu_{\text{воз}}}{RT} \approx 1,189 \frac{\text{г}}{\text{л}} +\end{equation*} +Плотность насыщенного пара при данной температуре $\rho_{\text{нп}} = 21,8 \frac{\text{г}}{\text{м}^3}$. +Массовые и молярные доли +\begin{equation*} + \omega_m^{\text{пар}} = \frac{\rho_{\text{пар}}}{\rho_{\text{нп}} + \rho_{\text{воз}}} = \frac{\varphi \cdot \rho_{\text{нп}}}{\rho_{\text{нп}} + \rho_{\text{воз}}} = 0,0164 +\end{equation*} +\begin{equation*} + \omega_m^{\text{воз}} = 0,9836 +\end{equation*} +\begin{equation*} + \omega_\nu^{\text{пар}} = \frac{\frac{\omega_m^{\text{пар}}}{\mu_{\text{пар}}}}{\frac{\omega_m^{\text{пар}}}{\mu_{\text{пар}}} + \frac{\omega_m^{\text{воз}}}{\mu_{\text{воз}}}} = 0,0261 +\end{equation*} +\begin{equation*} + \omega_\nu^{\text{воз}} = 0,9739 +\end{equation*} +Молярные теплоемкости водяного пара и сухого воздуха равны $C_p^{\text{пар}} = 34,5$ и $C_p^{\text{воз}} = 29,3$ соответственно. Итоговая теплоемкость влажного воздуха равна +\begin{equation*} + C_p = \omega_\nu^{\text{воз}}C_p^{\text{воз}} + \omega_\nu^{\text{пар}}C_p^{\text{пар}} = 29,4358 +\end{equation*} +Приняв воздух за идеальный газ, используем соотношением Майера и найдем показатель адиабаты влажного воздуха +\begin{equation*} + \gamma_{\text{воз}}^{\text{табл}} = \frac{C_p}{C_v} = \frac{C_p}{C_p - R} = 1,3868 +\end{equation*} +\item Теперь перейдем к сравнению. +\begin{table}[h!] + \centering + \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} + \hline + Газ & $\gamma^{\text{эксп}}$ & $\gamma^{\text{табл}}$ & $\sigma_{\gamma}^{\text{эксп}}$ & $\sigma_{\gamma}^{\text{табл}}$ & $\varepsilon_{\gamma}^{\text{эксп}}, \%$ & $\varepsilon_{\gamma}^{\text{табл}}, \%$ \\ + \hline + Воздух & $1.293$ & $1.3868$ & $0.015$ & $0.0936$ & $1.18$ & $6.75$ \\ \hline + CO$_2$ & $1.2701$ & $1.3$ & $0.0002$ & $0.0299$ & $0.02$ & $2.30$ \\ \hline + \end{tabular} + \caption{Таблица 7. Сравнение экспериментальных и табличных значений $\gamma$ для различных газов} +\end{table} +Значения для $CO_2$ оказались довольно близкими к табличным, точки на графике 2 лежат на прямой с хорошей точностью. Для воздуха значения и график получились менее точными. Это связано с тем, что в первых сериях для воздуха давление $\Delta h_1$ недостаточно для измерений с высокой точностью, нужно было накачивать больше. В то же время для $CO_2$ наоборот для всех серий бралось максимальное допустимое давление, поэтому результаты намного ближе к табличным и погрешность меньше. Также большое расхождение связано с тем, что $\Delta t$ не измерялось с большой точностью, а бралось приблизительное для диапазона. Поэтому графики могут сильно отличаться от ожидаемых. Стоит также напомнить, что итоговая формула (1) получилась с приближением. + +\end{enumerate} + +\section{Выводы} +По давлению газа определили показатель адиабаты $\gamma$ для воздуха и $CO_2$ для каждого измерения. Построили графики зависимости показателя адиабаты от времени открытия крана $\gamma(\Delta t)$. По экстраполяции определили окончательные показатели адиабаты для газов (см. Таблица 7). Убедились, что экспериментальные значения близки к табличным. + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/2.1.2/pdf/Kotlyarov_M.pdf b/2.1.2/pdf/Kotlyarov_M.pdf new file mode 100644 index 00000000..5435cf67 Binary files /dev/null and b/2.1.2/pdf/Kotlyarov_M.pdf differ diff --git a/2.1.6/Kotlyarov_M/Graphics/graph1.png b/2.1.6/Kotlyarov_M/Graphics/graph1.png new file mode 100644 index 00000000..df785190 Binary files /dev/null and b/2.1.6/Kotlyarov_M/Graphics/graph1.png differ diff --git a/2.1.6/Kotlyarov_M/Graphics/graph2.png b/2.1.6/Kotlyarov_M/Graphics/graph2.png new file mode 100644 index 00000000..4a0e005a Binary files /dev/null and b/2.1.6/Kotlyarov_M/Graphics/graph2.png differ diff --git a/2.1.6/Kotlyarov_M/Pictures/Scheme.png b/2.1.6/Kotlyarov_M/Pictures/Scheme.png new file mode 100644 index 00000000..aff953e1 Binary files /dev/null and b/2.1.6/Kotlyarov_M/Pictures/Scheme.png differ diff --git a/2.1.6/Kotlyarov_M/Pictures/ustanovka.png b/2.1.6/Kotlyarov_M/Pictures/ustanovka.png new file mode 100644 index 00000000..5bfe0e2b Binary files /dev/null and b/2.1.6/Kotlyarov_M/Pictures/ustanovka.png differ diff --git a/2.1.6/Kotlyarov_M/main.pdf b/2.1.6/Kotlyarov_M/main.pdf new file mode 100644 index 00000000..a3080279 Binary files /dev/null and b/2.1.6/Kotlyarov_M/main.pdf differ diff --git a/2.1.6/Kotlyarov_M/main.tex b/2.1.6/Kotlyarov_M/main.tex new file mode 100644 index 00000000..937dc587 --- /dev/null +++ b/2.1.6/Kotlyarov_M/main.tex @@ -0,0 +1,341 @@ +\documentclass[a4paper]{article} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[russian,english]{babel} +\usepackage[T2A]{fontenc} +\usepackage[left=10mm, top=20mm, right=18mm, bottom=15mm, footskip=10mm]{geometry} +\usepackage{indentfirst} +\usepackage{amsmath,amssymb} +\usepackage[italicdiff]{physics} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{caption} +\usepackage{float} +\renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}} +\usepackage{tablefootnote} +\usepackage{footmisc} +\usepackage[parfill]{parskip} +\usepackage[utf8]{inputenc}\newcommand{\approxtext}[1]{\ensuremath{\stackrel{\text{#1}}{\approx}}} +\graphicspath{{images/}} +\DeclareGraphicsExtensions{.pdf,.png,.jpg} +\usepackage{wrapfig} +\captionsetup{labelformat=empty} +\usepackage{caption} +\captionsetup[figure]{name=Рисунок} +\captionsetup[table]{name=Таблица} + +\title{\textbf{Отчет о выполненой лабораторной работе 2.1.6}} +\date{} +\author{Котляров Михаил, Б01-402} + +\begin{document} + +\maketitle + + \section{Введение} + + \textbf{Цель работы:} : 1) определить изменения температуры углекислого газа при протекании через малопроницаемую перегородку при разных начальных значениях температуры, вычислить коэффициент Джоуля-Томсона; 2) вычислить по результатам опытов коэффициенты $a$ и $b$ модели Вандер-Ваальса, а также температуру инверсии $T_{\text{инв}}$.\\ + + \textbf{Оборудование:} трубка с пористой перегородкой; труба Дьюара; термостат +жидкостной; термопара; вольтметр универсальный цифрововй; баллон с углекислым газом; манометр. + + \section{Теоретические сведения} +\textit{Эффектом Джоуля–Томсона} называется изменение температуры газа, медленно +просачивающегося из области высокого в область низкого давления в условиях тепловой изоляции. В разреженных газах, которые приближаются по своим свойствам +к идеальному, при таком течении температура газа не меняется. Таким образом, в +эффекте Джоуля–Томсона проявляется отличие исследуемого газа от идеального.\\ +Получим теоретическое выражения для расчёта величины эффекта Джоуля–Томсона. +Так как через боковые стенки не происходит ни обмена теплом, ни передачи механической энергии, то: +\begin{equation*} + A_1-A_2 = P_1V_1-P_2V_2 = (U_2 + \mu v_2^2/2) - (U_1+\mu v_1^2/2), +\end{equation*} +\begin{equation*} + H_1-H_2 = \frac{\mu}{2} (v_2^2/2 - v_1^2/2). +\end{equation*} +\begin{figure}[h!] + \centering + \includegraphics[scale=0.5]{Pictures/Scheme.png} + \caption{ + Рис. 1. Принципиальная схема эффекта Джоуля–Томсона + } + \end{figure} + + + +Правая часть оказывается принебрежимо малой. Тогда приходим к выводу, что эффект Джоуля-Томсона — это процесс, в котором сохраняется энтальпия: +\begin{equation*} + H_1 \approx H_2 . +\end{equation*} +Энтальпия — функция состояния, зависящая, в общем случае, как от температуры T, так и от давления P. Поэтому в результате просачивания газа под действием +перепада давления, равного по модулю $|\Delta P| = P_1 - P_2$, возникнет изменение его температуры $\Delta T = T_2 - T_1$. Коэффициентом Джоуля–Томсона называют отношение +\begin{equation*} + \mu_{\text{Д-Т}} = \frac{\Delta T} {\Delta P}. +\end{equation*} +Рассмотрим простейшую модель реального газа: газ Ван-дер-Ваальса. Термическое и калорическое уравнения состояния для него, как известно, имеют следующий вид: +\begin{equation*} + (P + \frac{a}{V^2})(V - b) = RT, +\end{equation*} + +\begin{equation*} + U = C_VT - \frac{a}{V}. +\end{equation*} +Энтальпия газа Ван-дер-Ваальса: +\begin{equation*} + H = U + PV = C_VT + RT\frac{V}{V - b} - \frac{2a}{V}. +\end{equation*} +Для упрощения можно воспользоваться следующим обстоятельством: газ в опыте +является достаточно разреженным (его давление не превышает 5 атм) и довольно +близок к идеальному. Поэтому его отличия от идеального следует учитывать только +в эффекте Джоуля–Томсона, но не при вычислении объёма V по известным T и P. То +есть, будем считать $V \approx \frac{RT}{P}$, $\frac{V}{V-b} \approx 1 + \frac{b}{V}$, $C_V + R \approx C_P$. В результате получим: +\begin{equation*} + H \approx C_PT + P(b - \frac{2a}{V}), +\end{equation*} +\begin{equation*} + \mu_{\text{Д-Т}} = \frac{\Delta T} {\Delta P} \approx \frac{\frac{2a}{RT} - b} {C_P}. + \eqno(1) +\end{equation*} + +\section{Экспериментальная установка} +Схема установки для исследования эффекта Джоуля–Томсона в углекислом газе +представлена на рис. 2. Основным элементом установки является трубка 1 с пористой +перегородкой 2, через которую пропускается двуокись углерода $CO_2$. Углекислый газ под повышенным давлением поступает в трубку через змеевик 5 +из балластного баллона 6. Медный змеевик омывается водой и нагревает медленно +протекающий через него газ до температуры воды в термостате. Температура воды +измеряется встроенным в термостат термометром. Давление газа в трубке измеряется манометром М и регулируется вентилем В . Манометр М измеряет разность между давлением внутри трубки и наружным (атмосферным) давлением. Разность температур газа до и после перегородки измеряется термопарой медь–константан. +\begin{figure}[h!] + \centering + \includegraphics[scale=0.5]{Pictures/ustanovka.png} + \caption{ + Рис. 2. Экспериментальная установка + } + \end{figure} + + +\section{Приборы и данные} +\begin{itemize} + \item Цифровые мультиметры Вольтметр универсальный B7-78/1, погрешность измерения погрешность измерения постоянного напряжения 0,0035\% + 0,0005\% диапазона. + \item Термостат жидкостный ТЖ-ТС-01, предел допускаемой погрешности установления заданной температуры не более $0,02 ^\circ C$, погрешность поддержания температуры не более $0,01 ^\circ C$. + \item Манометр WIKA EN 837-1, класс точности 1,0. +\end{itemize} +\section{Выполнение} +\begin{enumerate} + +\item Начальные показания приборов +\begin{equation*} + t_0 = 13,9 ^\circ C; \varepsilon_0 = -0,002 \text{мВ}, +\end{equation*} +где $t_0$ - начальная температура термостата с водой, $\varepsilon_0$ - показания вольтметра\\ +\textbf{ВАЖНО!} Для уточнения, далее все значения напряжений на термопаре $\varepsilon$, указаны по модулю, но на мультиметре все они были отрицательными. + +\item В каждой серии экспериментов для каждой температуры воды в термостате будем устанавливать давление и, когда показания вольтметра перестанут меняться, будем фиксировать напряжение на термопаре. Погрешность напряжения складывается из систематической погрешности и погрешности колебания величины. Поскольку $\sigma_\varepsilon ^{\text{сист}} \ll \sigma_\varepsilon ^{\text{колеб}} $, то +\begin{equation*} + \sigma_\varepsilon = \sqrt{{\sigma_\varepsilon ^{\text{сист}}} ^ 2 + {\sigma_\varepsilon ^{\text{колеб}}} ^ 2} \approx \sigma_\varepsilon ^{\text{колеб}} = 0,001 \text{мВ}. +\end{equation*} +Разница температур термопары определяется по формуле $\Delta T = \frac{\Delta \varepsilon} {\frac{d\varepsilon}{d T}} $. Значения чувствительности медно-константановой термопары взяты из описания к работе. +Далее приведены экспериментальные значения. +\begin{table}[h!] + \centering + \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} + \hline + $T, ^\circ C$ & $P, \text{бар}$ & $\varepsilon, \text{мВ}$ & $\Delta T, ^\circ C$ & $\sigma_{\Delta T}, ^\circ C$ & $\varepsilon_{\Delta T}, \%$ \\ + \hline + $15.22 \pm 0.02$ & $4.10 \pm 0.06$ & $0.140 \pm 0.001$ & 3.518 & 0.025 & 0.71 \\ \hline + $15.33 \pm 0.02$ & $3.50 \pm 0.06$ & $0.111 \pm 0.001$ & 2.789 & 0.025 & 0.90 \\ \hline + $15.45 \pm 0.02$ & $3.00 \pm 0.06$ & $0.083 \pm 0.001$ & 2.085 & 0.025 & 1.20 \\ \hline + $15.60 \pm 0.02$ & $2.50 \pm 0.06$ & $0.065 \pm 0.001$ & 1.633 & 0.025 & 1.54 \\ \hline + \end{tabular} + \caption{Таблица 1. Диапазон температуры 15,22\textdiv15,60 $^\circ C$} +\end{table} + +\begin{table}[h!] + \centering + \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} + \hline + $T, ^\circ C$ & $P, \text{бар}$ & $\varepsilon, \text{мВ}$ & $\Delta T, ^\circ C$ & $\sigma_{\Delta T}, ^\circ C$ & $\varepsilon_{\Delta T}, \%$ \\ + \hline + $33.07 \pm 0.02$ & $4.05 \pm 0.06$ & $0.116 \pm 0.001$ & 2.795 & 0.024 & 0.86 \\ \hline + $33.04 \pm 0.02$ & $3.50 \pm 0.06$ & $0.090 \pm 0.001$ & 2.169 & 0.024 & 1.11 \\ \hline + $33.02 \pm 0.02$ & $3.00 \pm 0.06$ & $0.070 \pm 0.001$ & 1.687 & 0.024 & 1.43 \\ \hline + $33.00 \pm 0.02$ & $2.40 \pm 0.06$ & $0.051 \pm 0.001$ & 1.229 & 0.024 & 1.96 \\ \hline + $33.00 \pm 0.02$ & $1.90 \pm 0.06$ & $0.035 \pm 0.001$ & 0.843 & 0.024 & 2.86 \\ + \hline + \end{tabular} + \caption{Таблица 2. Диапазон температуры 33,00\textdiv33,07 $^\circ C$} +\end{table} + +\begin{table}[h!] + \centering + \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} + \hline + $T, ^\circ C$ & $P, \text{бар}$ & $\varepsilon, \text{мВ}$ & $\Delta T, ^\circ C$ & $\sigma_{\Delta T}, ^\circ C$ & $\varepsilon_{\Delta T}, \%$ \\ + \hline + $45.04 \pm 0.02$ & $4.10 \pm 0.06$ & $0.107 \pm 0.001$ & 2.524 & 0.024 & 0.93 \\ \hline + $45.02 \pm 0.02$ & $3.50 \pm 0.06$ & $0.082 \pm 0.001$ & 1.934 & 0.024 & 1.22 \\ \hline + $45.00 \pm 0.02$ & $3.00 \pm 0.06$ & $0.066 \pm 0.001$ & 1.557 & 0.024 & 1.52 \\ \hline + $45.00 \pm 0.02$ & $2.60 \pm 0.06$ & $0.050 \pm 0.001$ & 1.179 & 0.024 & 2.00 \\ \hline + $45.00 \pm 0.02$ & $1.80 \pm 0.06$ & $0.028 \pm 0.001$ & 0.660 & 0.024 & 3.57 \\ + \hline + \end{tabular} + \caption{Таблица 3. Диапазон температуры 45,00\textdiv45,04 $^\circ C$} +\end{table} + +\begin{table}[h!] + \centering + \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} + \hline + $T, ^\circ C$ & $P, \text{бар}$ & $\varepsilon, \text{мВ}$ & $\Delta T, ^\circ C$ & $\sigma_{\Delta T}, ^\circ C$ & $\varepsilon_{\Delta T}, \%$ \\ + \hline + $56.91 \pm 0.02$ & $4.10 \pm 0.06$ & $0.102 \pm 0.001$ & 2.361 & 0.023 & 0.98 \\ \hline + $56.92 \pm 0.02$ & $3.40 \pm 0.06$ & $0.076 \pm 0.001$ & 1.759 & 0.023 & 1.32 \\ \hline + $56.93 \pm 0.02$ & $3.00 \pm 0.06$ & $0.061 \pm 0.001$ & 1.412 & 0.023 & 1.64 \\ \hline + $56.94 \pm 0.02$ & $2.50 \pm 0.06$ & $0.046 \pm 0.001$ & 1.065 & 0.023 & 2.17 \\ \hline + $56.96 \pm 0.02$ & $2.00 \pm 0.06$ & $0.030 \pm 0.001$ & 0.694 & 0.023 & 3.33 \\ + \hline + \end{tabular} + \caption{Таблица 4. Диапазон температуры 56,91\textdiv56,96 $^\circ C$} +\end{table} +\clearpage +\item По этим данным построим по МНК графики зависимости разности температур от перепада давления $\Delta T(\Delta P) $ для разных температур. +\begin{figure}[h!] +\centering{\includegraphics[width=1\textwidth]{Graphics/graph1.png}} +\caption[]{\label{} График №1 Зависимость разности температур от перепада давления $\Delta T(\Delta P)$} +\end{figure} + +По наклону прямых получим значения коэффициентов Джоуля-Томсона для разных температур воды в термостате. +\begin{table}[h!] + \centering + \begin{tabular}{|c|c|c|c|} + \hline + № & $\mu_{\text{Д-Т}}, \frac{\text{К}}{\text{бар}}$ & $\sigma_{\mu_{\text{Д-Т}}}, \frac{\text{К}}{\text{бар}}$ & $\varepsilon, \%$ \\ + \hline + 1 & $1.201$ & $0.046$ & $3.87$ \\ + \hline + 2 & $0.896$ & $0.037$ & $4.12$ \\ + \hline + 3 & $0.810$ & $0.030$ & $3.75$ \\ + \hline + 4 & 0,792 &0,018& 2,235 \\ + \hline + \end{tabular} + \caption{Таблица 5. Коэффициенты Джоуля-Томсона для серий измерений 1-4} +\end{table} +\renewcommand{\thefootnote}{*} +\item По данным таблицы 5 постром по МНК график зависимости коэффициента Джоуля-Томсона от обратной температуры $\mu_{\text{Д-Т}}(\frac{1}{T})$. Температуру будем брать среднюю из значений для каждого диапазона. Также построим такую зависимость для табличных значений\footnotemark{} коэффициентов Джоуля-Томсона. + +\footnotetext{в данной работе в местах, где не указано, табличные значения были взяты из книги Лабораторный практикум по общей физике Том I Термодинамика и молекулярная физика} +\renewcommand{\thefootnote}{\arabic{footnote}} +\clearpage +\begin{figure}[h!] +\centering{\includegraphics[width=1\textwidth]{Graphics/graph2.png}} +\caption[]{\label{} График 2. Зависимости коэффициента Джоуля-Томсона от обратной температуры $\mu_{\text{Д-Т}}(\frac{1}{T})$} +\end{figure} + +По наклонам прямых $k$ и пересечению с осью ординат $\mu_0 = -\frac{b}{C_p}$ определим коэффициенты $a$ и $b$ в уравнении состояния газа Ван-дер-Ваальса. Примем $R = 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot K}$ и значение $C_p = 37,1 \frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot K}$ возьмем из таблицы. +\begin{equation*} + k^{\text{эксп}} = 963 \pm 161 \frac{K^2}{\text{бар}} \Rightarrow a^{\text{эксп}} = \frac{k^{\text{эксп}} R C_p}{2} = 1,484 \frac{H\cdot\text{ м} ^4}{\text{моль} ^2}, +\end{equation*} +\begin{equation*} + \sigma_{a^{\text{эксп}}} = a^{\text{эксп}} \frac{\sigma_{k^{\text{эксп}}}}{k^{\text{эксп}}} = 0,249 \frac{H\cdot\text{ м} ^4}{\text{моль} ^2}, +\end{equation*} +\begin{equation*} + a^{\text{эксп}} = 1,484 \pm 0,249 \frac{H\cdot\text{ м} ^4}{\text{моль} ^2}(\varepsilon = 16,75\%), +\end{equation*} + +\begin{equation*} + \mu_0^{\text{эксп}} = -2,183 \pm 0,026 \frac{K}{\text{бар}} \Rightarrow b^{\text{эксп}} = \mu_0^{\text{эксп}} C_p = 8,10 \cdot 10^{-4} \frac{\text{м} ^3}{\text{моль}}, +\end{equation*} +\begin{equation*} + \sigma_{b^{\text{эксп}}} = b^{\text{эксп}} \frac{\sigma_{\mu_0^{\text{эксп}}}}{\mu_0^{\text{эксп}}} = 0,18 \cdot 10^{-4} \frac{\text{м} ^3}{\text{моль}}, +\end{equation*} +\begin{equation*} + b^{\text{эксп}} = (8,10 \pm 0,18) \cdot 10^{-4} \frac{\text{м} ^3}{\text{моль}} (\varepsilon = 2,18\%), +\end{equation*} + +\begin{equation*} + k^{\text{табл}} = 685 \pm 54 \frac{K^2}{\text{бар}} \Rightarrow a^{\text{табл}} = \frac{k^{\text{табл}} R C_p}{2} = 1,043 \frac{H\cdot\text{ м} ^4}{\text{моль} ^2}, +\end{equation*} +\begin{equation*} + \sigma_{a^{\text{табл}}} = a^{\text{табл}} \frac{\sigma_{k^{\text{табл}}}}{k^{\text{табл}}} = 0,082 \frac{H\cdot\text{ м} ^4}{\text{моль} ^2}, +\end{equation*} +\begin{equation*} + a^{\text{табл}} = 1,043 \pm 0,082 \frac{H\cdot\text{ м} ^4}{\text{моль} ^2}(\varepsilon = 7,84\%), +\end{equation*} + +\begin{equation*} + \mu_0^{\text{табл}} = -1,226\pm 0,013 \frac{K}{\text{бар}} \Rightarrow b^{\text{табл}} = \mu_0^{\text{табл}} C_p = 4,490 \cdot 10^{-4} \frac{\text{м} ^3}{\text{моль}}, +\end{equation*} +\begin{equation*} + \sigma_{b^{\text{табл}}} = b^{\text{табл}} \frac{\sigma_{\mu_0^{\text{табл}}}}{\mu_0^{\text{табл}}} = 0,055 \cdot 10^{-4} \frac{\text{м} ^3}{\text{моль}}, +\end{equation*} +\begin{equation*} + b^{\text{табл}} = (4,490 \pm 0,055) \cdot 10^{-4} \frac{\text{м} ^3}{\text{моль}} (\varepsilon = 1,23\%). +\end{equation*} + +По полученным коэффициентам определим температуру инверсии $T_{\text{инв}}$ +\begin{equation*} + T_{\text{инв}}^{\text{эксп}} = \frac{2a^{\text{эксп}}}{Rb^{\text{эксп}}} = 441,1 K, +\end{equation*} +\begin{equation*} + \sigma_{T_{\text{инв}}^{\text{эксп}}} = T_{\text{инв}}^{\text{эксп}}\sqrt{{(\frac{\sigma_{a^{\text{эксп}}}}{a^{\text{эксп}}})}^2 + {(\frac{\sigma_{b^{\text{эксп}}}}{b^{\text{эксп}}})}^2} = 441,1 \cdot \sqrt{{0,168}^2 + {0,022}^2} = 74,5 K, +\end{equation*} +\begin{equation*} + T_{\text{инв}}^{\text{эксп}} = 441,1 K \pm 74,5 (\varepsilon = 16,89 \%), +\end{equation*} + +\begin{equation*} + T_{\text{инв}}^{\text{табл}} = \frac{2a^{\text{табл}}}{Rb^{\text{табл}}} = 558,8 K, +\end{equation*} +\begin{equation*} + \sigma_{T_{\text{инв}}^{\text{табл}}} = T_{\text{инв}}^{\text{табл}}\sqrt{{(\frac{\sigma_{a^{\text{табл}}}}{a^{\text{табл}}})}^2 + {(\frac{\sigma_{b^{\text{табл}}}}{b^{\text{табл}}})}^2} = 558,8 \cdot \sqrt{{0,078}^2 + {0,012}^2} = 44,4 K, +\end{equation*} +\begin{equation*} + T_{\text{инв}}^{\text{табл}} = 558,8 K \pm 44,4 (\varepsilon = 7,94 \%). +\end{equation*} + +\end{enumerate} +\section{Результаты и обсуждения} +\begin{enumerate} +\item Сравним полученные коэффициенты Джоуля-Томсона с табличными. Для этого по построенной зависимости табличных значений коэффициентов от обратных температур вычислим для наших диапазонов (температуры брались средние для каждого диапазона).\\ +\begin{table}[h!] + \centering + \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} + \hline + $T, \text{К}$ & $\mu_{\text{Д-Т}}^{\text{эксп}}, \frac{K}{\text{бар}}$ & $\mu_{\text{Д-Т}}^{\text{табл}}, \frac{K}{\text{бар}}$ & $\sigma_{\mu_{\text{Д-Т}}^{\text{эксп}}}, \frac{K}{\text{бар}}$ & $\sigma_{\mu_{\text{Д-Т}}^{\text{табл}}}, \frac{K}{\text{бар}}$ & $\varepsilon_{\mu_{\text{Д-Т}}^{\text{эксп}}}, \%$ & $\varepsilon_{\mu_{\text{Д-Т}}^{\text{табл}}}, \%$ \\ + \hline + $288.40$ & $1.201$ & $1.150$ & $0.046$ & $0.051$ & $3.87$ & $4.45$ \\ \hline + $306.03$ & $0.896$ & $1.013$ & $0.037$ & $0.116$ & $4.12$ & $11.50$ \\ \hline + $318.01$ & $0.810$ & $0.929$ & $0.030$ & $0.118$ & $3.75$ & $12.76$ \\ \hline + $329.93$ & $0.792$ & $0.851$ & $0.018$ & $0.059$ & $2.23$ & $6.94$ \\ + \hline + \end{tabular} + \caption{Таблица 6. Экспериментальные и табличные значения коэффициента Джоуля-Томсона} +\end{table} +Значения коэффициентов в первой и четвертой сериях оказались наиболее приближенными к табличным. Скорее всего это связано с тем, что в сериях 2 и 3 были измерены разницы температур при малых значениях перепадов давлений ($\Delta P \approx 1,8$ бар). Это сказывается на точности, поскольку при малой скорости потока газа нарушается условие отсутствия +теплообмена газа с окружающей средой. +\item По построенному графику зависимости $\mu_{\text{Д-Т}}(\frac{1}{T})$ мы определили коэффициенты $a$ и $b$ уравнения Ван-дер-Ваальса, а также температуру инверсии. Сравним экспериментальные (обозначение: \textit{Эксп})значениями с табличными, полученными по табличным данным коэффициентов Джоуля-Томсона (\textit{Табл1}), а также табличными для критических температур (\textit{Табл2}). +\begin{table}[h!] + \centering + \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} + \hline + \textit{Величина} & \textit{Эксп} & \textit{Табл1} & \textit{Табл2} & $\sigma_{\text{Эксп}}$ & $\sigma_{\text{Табл1}}$ & $\sigma_{\text{Табл2}}$ & $\varepsilon_{\text{Эксп}}$, \% & $\varepsilon_{\text{Табл1}}, \%$ & $\varepsilon_{\text{Табл2}}$, \% \\ + \hline + $a, \frac{H\cdot\text{ м} ^4}{\text{моль} ^2}$ & 1.484 & 1.043 & 0.3652 & 0.249 & 0.082 & 1.1189 & 16.75 & 7.84 & 306.39 \\ \hline + $b, 10^{-4} \frac{\text{м} ^3}{\text{моль}}$ & 8.10 & 4.490 & 0.428 & 0.18 & 0.055 & 7.672 & 2.18 & 1.23 & 1792.52 \\ \hline + $T_{\text{инв}}, K$ & 441.1 & 558.8 & 2073\footnotemark[1] & 74.5 & 44.4 & 1632 & 16.89 & 7.94 & 78.72 \\ + \hline + \end{tabular} + \caption{Таблица 7. Экспериментальные и табличные значения\\ коэффициентов $a$, $b$ и температуры инверсии $T_{\text{инв}}$} +\end{table} +\footnotetext[1]{Табличное значение температуры инверсии для углекислого газа $CO_2$ взято из этого источника \\https://physics.spbstu.ru/userfiles/files/molec4-03.pdf} + +По результатам таблицы можно сделать вывод, что модель Ван-дер-Ваальса действительно не описывает с хорошей точностью газ для всего диапазона температур и давлений. Более того, конечная формула (1) получена с большим количеством приближений, что так же влияет на погрешность. +\end{enumerate} +\section{Выводы} +\begin{enumerate} +\item Проведя 4 серии измерения разницы температур термопары от перепада давления для различных диапазонов температур воды в термостате, мы получили для них коэффициенты Джоуля-Томсона, построив графики (см. Таблица 5). Сравнили с табличными значениями, убедились в том, что они совпадают с учетом погрешности. +\item По полученным коэффициентам для диапазонов температур 1-4 построили графики зависимости $\mu_{\text{Д-Т}}(\frac{1}{T})$. Убедились в том, что значения лежат на прямой в пределах погрешности. По параметрам прямой определили коэффициенты $a$, $b$ в модели газа Ван-дер-Ваальса, а также температуру инверсии (см. Таблица 7). Из-за того, что модель является упрощенной и не подходит для всего диапазона температур и давлений, а также из-за большого количества упрощений при выводе формул для рассчетов значения сильно отличаются. Поэтому для определения этих величин данный метод исследования плохо применим. + + + +\end{enumerate} + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/2.1.6/pdf/Kotlyarov_M.pdf b/2.1.6/pdf/Kotlyarov_M.pdf new file mode 100644 index 00000000..d66a692f Binary files /dev/null and b/2.1.6/pdf/Kotlyarov_M.pdf differ diff --git a/2.2.1/Kotlyarov_M/221.pdf b/2.2.1/Kotlyarov_M/221.pdf new file mode 100644 index 00000000..d2b41d10 Binary files /dev/null and b/2.2.1/Kotlyarov_M/221.pdf differ diff --git a/2.2.1/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_1.png b/2.2.1/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_1.png new file mode 100644 index 00000000..4a3f1e96 Binary files /dev/null and b/2.2.1/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_1.png differ diff --git a/2.2.1/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_2.png b/2.2.1/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_2.png new file mode 100644 index 00000000..1e89096a Binary files /dev/null and b/2.2.1/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_2.png differ diff --git a/2.2.1/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_3.png b/2.2.1/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_3.png new file mode 100644 index 00000000..60604a2f Binary files /dev/null and b/2.2.1/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_3.png differ diff --git a/2.2.1/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_4.png b/2.2.1/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_4.png new file mode 100644 index 00000000..8f52c867 Binary files /dev/null and b/2.2.1/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_4.png differ diff --git a/2.2.1/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_5.png b/2.2.1/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_5.png new file mode 100644 index 00000000..0a8e3c86 Binary files /dev/null and b/2.2.1/Kotlyarov_M/Graphics/Graph_5.png differ diff --git a/2.2.1/Kotlyarov_M/Pictures/scheme.png b/2.2.1/Kotlyarov_M/Pictures/scheme.png new file mode 100644 index 00000000..6b5212b1 Binary files /dev/null and b/2.2.1/Kotlyarov_M/Pictures/scheme.png differ diff --git a/2.2.1/Kotlyarov_M/Pictures/ustanovka.png b/2.2.1/Kotlyarov_M/Pictures/ustanovka.png new file mode 100644 index 00000000..87ebd32f Binary files /dev/null and b/2.2.1/Kotlyarov_M/Pictures/ustanovka.png differ diff --git a/2.2.1/Kotlyarov_M/main.pdf b/2.2.1/Kotlyarov_M/main.pdf new file mode 100644 index 00000000..0d25e25f Binary files /dev/null and b/2.2.1/Kotlyarov_M/main.pdf differ diff --git a/2.2.1/Kotlyarov_M/main.tex b/2.2.1/Kotlyarov_M/main.tex new file mode 100644 index 00000000..3cdffe93 --- /dev/null +++ b/2.2.1/Kotlyarov_M/main.tex @@ -0,0 +1,311 @@ +\documentclass[a4paper]{article} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[russian,english]{babel} +\usepackage[T2A]{fontenc} +\usepackage[left=10mm, top=20mm, right=18mm, bottom=15mm, footskip=10mm]{geometry} +\usepackage{indentfirst} +\usepackage{amsmath,amssymb} +\usepackage[italicdiff]{physics} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{caption} +\usepackage{float} +\usepackage{caption} +\renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}} +\usepackage{tablefootnote} +\usepackage{footmisc} +\usepackage{textcomp} +\usepackage{multicol} +\usepackage[parfill]{parskip} +\usepackage{makecell} +\usepackage{array} +\renewcommand\cellalign{cc} +\renewcommand\cellgape{\Gape[2pt]} +\usepackage[utf8]{inputenc}\newcommand{\approxtext}[1]{\ensuremath{\stackrel{\text{#1}}{\approx}}} +\usepackage[colorlinks=true, urlcolor=blue, linkcolor=blue, citecolor=blue]{hyperref} +\graphicspath{{images/}} +\DeclareGraphicsExtensions{.pdf,.png,.jpg} +\usepackage{wrapfig} +\captionsetup{labelformat=empty} +\usepackage{caption} +\captionsetup[figure]{name=Рисунок} +\captionsetup[table]{name=Таблица} + +\title{\textbf{Отчет о выполненой лабораторной работе 2.2.1}} +\date{} +\author{Котляров Михаил, Б01-402} + +\begin{document} + +\maketitle + + \section{Введение} + + \textbf{Цель работы:}: Определение коэффициента диффузии гелия в воздухе\\ + + \textbf{Оборудование:} форвакуумный насос; баллон с гелием; манометр; источник питания; магазин сопротивления; мультиметр; установка + + \section{Теоретические сведения} +\textit{Диффузией} называют самопроизвольное взаимное проникновение веществ друг в друга, происходящее вследствие хаотичного теплового движения молекул. При перемешивании молекул разного сорта говорят о взаимной (или концентрационной) диффузии.\\ +В системе, состоящей из двух компонентов, плотность потока вещества в результате взаимной диффузии описывается законом Фика: +\begin{center} +$\displaystyle j_a = -D\frac{\partial n_a}{\partial x}$, $\displaystyle j_b = -D\frac{\partial n_b}{\partial x}$, +\end{center} +где $D$ -- коэффициент взаимной диффузии компонентов, $j_{ab}$ = плотности потока частиц соответствующего сорта (количество частиц, пересекающих единичную площадку в единицу времени).\\ +В данной работе исследуется взаимная диффузия гелия и воздуха. Давление $P$ и температура $T$ в условиях опыта предполагаются неизменными: $P = (n_{He} + n_{\text{В}})k_{\text{Б}}T = const$, где $n_{He}$ и $n_{\text{В}}$ — концентрации (объёмные плотности) диффундирующих газов. Поэтому для любых изменений концентраций справедливо $\Delta n_{\text{В}} = -\Delta n_{He}$. Следовательно, достаточно ограничиться +описанием диффузии одного из компонентов, например гелия $n_{He}$ : +\begin{equation*} + j_{He} = -D\frac{\partial n_{He}}{\partial x} + \eqno(1) +\end{equation*} +Проведём теоретическую оценку величины коэффициента взаимной диффузии. В работа мала концентрация гелия, более того, масса атомов гелия много меньше массы молекул, составляющих воздух. При таких условиях перемешивание газов в эксперимента можно рассматривать как диффузию гелия на стационарном форне воздуха. Тогда коэффициент диффузии приблизительно равен +\begin{equation*} + \displaystyle D = \frac{1}{3}\lambda \bar v, + \eqno(2) +\end{equation*} +где $\displaystyle \bar v = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$ -- средняя тепловая скорость частиц примеси, $\lambda = \frac{1}{n_0\sigma}$ -- длина свободного пробега частиц, $n_0$ --концентрация рассеивающих центров (фона), $\sigma$ -- сечение столкновения частиц примеси с частицами фона. В общем случае необходимо считать $\displaystyle \lambda = \frac{1}{n_\Sigma \sigma}$, где $\displaystyle n_\Sigma = n_{He} + n_{\text{В}} = \frac{P_\Sigma}{kT}$ - полная концентрация частиц. Также $\displaystyle \bar v$ -- средняя относительная скорость частиц разных сортов. Таким образом, теоретическая оценка предполагает, что коэффициент диффузии не зависит от пропорция элементов, а обратно пропорционален давлению $\displaystyle D \propto \frac{1}{P_\Sigma}$. + +\section{Экспериментальная установка и метод измерения} + +Рассмотрим подзадачу о диффузии в соединительной +трубке. Предположим сперва, что концентрации примеси +(гелия) на её торцах поддерживаются постоянными и +равными $n_1$ и $n_2$ соответственно. Тогда через некоторое +время в трубке установится стационарный поток частиц, одинаковый в +каждом сечении трубки (в противном случае, если бы поток зависел от x, +частицы бы накапливались в трубке, и процесс перестал бы быть стационарным). Применяя закон Фика в трубке, получим +\begin{equation*} + j = -D\frac{\partial n}{\partial x} = const. +\end{equation*} +Следовательно, распределение концентрации в трубке n(x) -- линейная функция: +\begin{equation*} + n(x) = \frac{\Delta n}{L}x, + \eqno(3) +\end{equation*} +и плотность потока частиц всюду постоянна и равна +\begin{equation*} + j = -D\frac{\Delta n}{L}, + \eqno(4) +\end{equation*} +где $\Delta n = n_2 - n_1$ -- разность концентраций гелия на концах трубки.\\ +Тогда полное число частиц примеси в сосудах равно соответственно $N_1 = n_1V$ и $N_2 = n_2V$. Прозведение плотности потока на площадь сечения трубки S дает количество частиц, пересекающих в единицу времени любое поперечное сечение трубки. Поэтому +\begin{center} +$\frac{dN_1}{dt} = jS$, $\frac{dN_2}{dt} = -jS$. +\end{center} +Выразим отсюда скорость изменения $\Delta n$. Вычитая из второго равенства +первое и деля результат на объём сосуда $V$ , с учетом (4) получим +\begin{equation*} + \frac{d(\Delta n)}{dt} = -\frac{\Delta n}{\tau} + \eqno(5) +\end{equation*} +Интегрируя (5), получаем, что разность концентраций будет убывать по экспоненциальному закону +\begin{equation*} + \Delta n = \Delta n_0 e^{-\frac{t}{\tau}} + \eqno(6) +\end{equation*} +где $\tau = \frac{VL}{2DS}$ -- характерное время выравнивания концентраций между сосудами, $\Delta n_0$ -- разность концентраций примеси в сосудах в начальный момент +времени.\\ +Для измерения разности концентраций в +установке применяются датчики теплопроводности. Тонкая +платиновая проволочка, протянутая вдоль оси стеклянного цилиндра, +нагревается током. Тепло от проволочки к стенке +цилиндра передаётся главным образом за счёт теплопроводности газа, находящегося внутри цилиндра. При заданной мощности нагревания приращение температуры проволочки и, следовательно, приращение её сопротивления пропорциональны теплопроводности газа. При малой разности $\Delta n$ концентраций в ссудах можно ожидать, что разность теплопроводностей будет изменяться прямо пропорционально $\Delta n$: +\begin{equation*} + \Delta \kappa = \kappa(n_2) - \kappa(n_1) \approx const \cdot \Delta n. +\end{equation*} +При незначительном различии в составах смесей показания вольтметра, подсоединённого к диагонали моста, будут пропорциональны разности концентраций примеси: $U \propto \Delta \kappa \propto \Delta n$. В процессе диффузии разность концентраций убывает по закону (8), и значит по тому +же закону изменяется напряжение: +\begin{equation*} + U = U_0 e^{-\frac{t}{\tau}}, + \eqno(7) +\end{equation*} +где $U_0$ — показание гальванометра в начальный момент времени. +\clearpage +\begin{figure}[h!] + \centering + \begin{minipage}{0.48\textwidth} + \centering + \includegraphics[width=\linewidth]{Pictures/Ustanovka.png} + \caption{Рис. 1. Экспериментальная установка} + \label{fig:ustanovka} + \end{minipage} + \hfill + \begin{minipage}{0.48\textwidth} + \centering + \includegraphics[width=\linewidth]{Pictures/scheme.png} + \caption{Рис. 2. Электрическая схема установки} + \label{fig:scheme} + \end{minipage} +\end{figure} + +\section{Приборы и данные} +\begin{itemize} + \item Вакуумметр образцовый ГОСТ 6521-60, класс точности 0,4. + \item Форвакуумный насос Адвавак 2, скорость откачки 2 м$^3$/час + \item Источник постоянного напряжения GW Instek GPS-2303, погрешность 0,5\% + 10 мВ + \item Цифровой мульиметр Вольтметр универсальный B7-78, погрешность измерения постоянного напряжения 0,0035\% + 0,0005\% диапазона мВ. +\end{itemize} + +\section{Выполнение} +\begin{enumerate} + +\item Ход выполнения каждого эксперимента\\ +Вначале откачаем до предела воздух из всей установки. Значение на манометре 101,5 делений. Давление в комнате $756$ торр. По этим данным получаем 1 деление $\approx 7,45$ торр. Запустим в установку воздух до давление $P_1 = 50$ торр. С помощью магазина сопротивлений установик на нити напряжение не более 0,1 мВ. Откачаем весь воздух. Наполним первый сосуд гелием до $0,2P_1$. Откачаем оставшийся в трубках гелий. Накачаем воздух во второй сосуд до давления $1,7P_1$. После этого откроем краны К1 и К2, чтоб давление и температура выровнялись. Закроем краны, зафиксируем получившееся давление в системе, откроем кран К3 и запустим программу, фиксирующую показания вольтметра. Будем ждать, пока напряжение упадет на 30-50\%. Проделаем этот опыт еще 5 раз для разных давлений.\\ +По полученным данным построим графики зависимости напряжения от времени $U(t)$, а также эту же зависимость в логарифмическом масштабе по оси оридинат. +\clearpage +\begin{figure}[h!] +\centering{\includegraphics[width=0.8\textwidth]{Graphics/Graph_1.png}} +\caption[]{\label{} Экспоненциальная зависимость напряжения от времени для $P_1$, $P_2$, $P_3$} +\end{figure} +\begin{figure}[h!] +\centering{\includegraphics[width=0.8\textwidth]{Graphics/Graph_2.png}} +\caption[]{\label{} Экспоненциальная зависимость напряжения от времени для $P_4$, $P_5$, $P_6$} +\end{figure} +\begin{figure}[h!] +\centering{\includegraphics[width=0.8\textwidth]{Graphics/Graph_3.png}} +\caption[]{\label{} Зависимость логарифма напряжения от времени для $P_1$, $P_2$, $P_3$} +\end{figure} +\begin{figure}[h!] +\centering{\includegraphics[width=0.8\textwidth]{Graphics/Graph_4.png}} +\caption[]{\label{} Зависимость логарифма напряжения от времени для $P_4$, $P_5$, $P_6$} +\end{figure} +\clearpage + +\item По полученным значениям $\tau$ определим коэффициент диффузии для данного давления. + +\begin{table}[h!] + \centering + \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} + \hline + $P, \text{дел}$ & $P, \text{торр}$ & $\tau, \text{с}$ & $D, \frac{\text{см}^2}{\text{с}}$ & $\sigma_D, \frac{\text{см}^2}{\text{с}}$ & $\varepsilon_D, \%$ \\ + \hline + $6.5 \pm 0.4$ & $48.4 \pm 3.0$ & $258.44 \pm 0.20$ & 7.31 & 0.19 & 2.63 \\ \hline + $8.0 \pm 0.4$ & $59.5 \pm 3.0$ & $301.88 \pm 0.19$ & 6.26 & 0.16 & 2.63 \\ \hline + $11.5 \pm 0.4$ & $85.6 \pm 3.0$ & $406.68 \pm 0.22$ & 4.65 & 0.12 & 2.63 \\ \hline + $14.5 \pm 0.4$ & $108.0 \pm 3.0$ & $494.21 \pm 0.23$ & 3.82 & 0.10 & 2.63 \\ \hline + $19.0 \pm 0.4$ & $141.5 \pm 3.0$ & $692.70 \pm 0.33$ & 2.73 & 0.07 & 2.63 \\ \hline + $28.5 \pm 0.4$ & $212.3 \pm 3.0$ & $946.35 \pm 0.51$ & 2.00 & 0.05 & 2.63 \\ + \hline + \end{tabular} + \caption{Таблица 1. Зависимость времени релаксации $\tau$ и диаметра пятна $D$ от давления $P$} +\end{table} + +\item По получненным коэффициентам диффузии построим по методу $\chi^2$ зависимость $D(\frac{1}{P})$. Экстраполируя график к атмосферному давлению, оценим соответствующий коэффициент диффузии. + +\begin{figure}[h!] +\centering{\includegraphics[width=0.75\textwidth]{Graphics/Graph_5.png}} +\caption[]{\label{} Зависимость коэффициента диффузии от обратного давления $D(\frac{1}{P})$} +\end{figure} + +Параметры графика: коэффициент наклона $a = 351,36 \pm 8,82$, $\chi^2 = 12.08$, степень свободы $i = 4$, параметр $p = 0.0167$. +Коэффициент диффузии для нашего давления в комнате $D_{756} = 0,820 \pm 0,075 \ \frac{\text{см}^2}{\text{с}}$ ($\varepsilon_{D_{756}} = 9,2 \%$), для нормального атмосферного давления $D_{760} = 0,817 \pm 0,075 \ \frac{\text{см}^2}{\text{с}}$ ($\varepsilon_{D_{756}} = 9,2 \%$). + +\item По полученным значениям оценим длину свободного пробега атомов гелия в воздухе $\lambda_{He}$, а также эффективное сечение столкновений атомов гелия с молекулами воздуха $\sigma_{He-\text{возд}}$.\\ +Для этого рассчитаем концентрацию молекул $n_0 = \frac{P}{kT}$, $\displaystyle \bar v = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$ -- среднюю тепловую скорость частиц примеси. +\begin{equation*} + n_0^1 = \frac{P_1}{kT_0} = \frac{48,4 \cdot 133,322}{1,38 \cdot 10^{-23} \cdot 298} \approx 1,57 \cdot 10^{24} \text{ м}^{-3} +\end{equation*} +\begin{equation*} + \sigma_{n_0^1} = n_0^1\frac{\sigma_{P_1}}{P_1} = 1,57 \cdot 10^{24} \frac{3}{48,4} = 9,8 \cdot 10^{22}\text{ м}^{-3} +\end{equation*} +\begin{equation*} + \varepsilon_{n_0^1} = 6,3 \% +\end{equation*} +\begin{equation*} +\displaystyle \bar v = \sqrt{\frac{8RT}{\pi \mu}} = \sqrt{\frac{8 \cdot 8,31 \cdot 298}{3,1415 \cdot 4 \cdot 10^{-3}}} = 1255,6 \frac{\text{м}}{\text{с}} +\end{equation*} +\begin{equation*} + \lambda_1 = \frac{3D}{\displaystyle \bar v} = \frac{3 \cdot 7,31 \cdot 10^{-4}}{1255,6} \approx 1747,3 \text{ нм} +\end{equation*} +\begin{equation*} + \sigma_{\lambda_1} = \lambda_1\varepsilon_{D_1} = 45,9 \text{ нм} +\end{equation*} +\begin{equation*} + \sigma_{He}^1 = \frac{1}{n_0^1\lambda_1} = \frac{1}{1,57 \cdot 10^{24} \cdot 1747,3 \cdot 10^{-9}} \approx 3,65 \cdot 10^{-19} \text{ м}^2 +\end{equation*} +\begin{equation*} + \Delta_{\sigma_{He}^1} = \sigma_{He}^1 \sqrt{\left(\frac{\sigma_{n_0^1}}{n_0^1}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_{\lambda_1}}{\lambda_1}\right)^2} = 1747,3\sqrt{(6,25 \cdot 10^{-2})^2 + (2,63 \cdot 10^{-2})^2} = 2,48 \cdot 10^{-20} \text{ м}^2 +\end{equation*} +\begin{equation*} + \varepsilon_{\sigma_{He}^1} = 6,78 \% +\end{equation*} + +\begin{table}[h!] + \centering + \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} + \hline + $P$, торр & \makecell{$n_0$,\\ $10^{24}$ м$^{-3}$} & \makecell{$\sigma_{n_0}$,\\ $10^{24}$ м$^{-3}$} & $\lambda$, нм & $\sigma_\lambda$, нм & \makecell{$\sigma_{He}$,\\ $10^{-19}$ м$^2$} & \makecell{$\Delta\sigma_{He}$,\\ $10^{-19}$ м$^2$} & $\varepsilon_{\sigma_{He}}$, \% \\ + \hline + $48.4 \pm 3.0$ & 1.57 & 0.10 & 1747.3 & 45.9 & 3.65 & 0.25 & 6.8 \\ \hline + $59.5 \pm 3.0$ & 1.93 & 0.10 & 1495.9 & 39.3 & 3.47 & 0.20 & 5.7 \\ \hline + $85.6 \pm 3.0$ & 2.78 & 0.10 & 1110.4 & 29.2 & 3.24 & 0.14 & 4.4 \\ \hline + $108.0 \pm 3.0$ & 3.50 & 0.10 & 913.7 & 24.0 & 3.13 & 0.12 & 3.8 \\ \hline + $141.5 \pm 3.0$ & 4.59 & 0.10 & 651.9 & 17.1 & 3.34 & 0.11 & 3.4 \\ \hline + $212.3 \pm 3.0$ & 6.88 & 0.10 & 477.2 & 12.5 & 3.04 & 0.09 & 3.0 \\ \hline + $756.0 \pm 3.0$ & 24.51 & 0.10 & 195.8 & 18.0 & 2.08 & 0.19 & 9.2 \\ \hline + $760.0 \pm 3.0$ & 24.64 & 0.10 & 195.2 & 18.0 & 2.08 & 0.19 & 9.2 \\ + \hline + \end{tabular} + \caption{Таблица 2. Результаты расчёта концентрации $n_0$, длины свободного пробега $\lambda$ и эффективного сечения столкновений $\sigma_{He}$ при различных давлениях $P$} +\end{table} +\renewcommand{\thefootnote}{*} +Рассчитаем по формулам из теории и табличному значению коэффициента диффузии при атмосферном давлении и температуре $20 ^\circ C$ эти значения. $D_{\text{табл}} = 0{,}697\ \frac{\text{см}^2}{\text{с}}$\footnotemark{} +\footnotetext{Значение данного коэффициента диффузии взято с сайта \url{https://www.engineeringtoolbox.com/air-diffusion-coefficient-gas-mixture-temperature-d_2010.html}} +\renewcommand{\thefootnote}{\arabic{footnote}} +\begin{equation*} + \lambda_{\text{табл}} = 166,5 \text{ нм} +\end{equation*} +\begin{equation*} + \sigma_{\text{табл}} = \frac{1}{n_0^{760}\lambda_{\text{табл}}} = 2,44 \cdot 10^{-19} \text{ м}^2 +\end{equation*} + +Теперь найдем эффективное сечение столкновений $\sigma_{He}^a$ по коэффициенту ноклона прямой $D(\frac{1}{P})$, поскольку по теории $D = \frac{kT^{\frac{3}{2}}}{3\sigma_{He}}\sqrt{\frac{8R}{\pi \mu}}\frac{1}{P}$. Отсюда $\sigma_{He} = \frac{kT^{\frac{3}{2}}}{3a}\sqrt{\frac{8R}{\pi \mu}}$. +\begin{equation*} + \sigma_{He}^a = \frac{1}{n_0^{760}\lambda_{\text{табл}}} = 3,68 \cdot 10^{-19} \text{ м}^2 +\end{equation*} +\begin{equation*} + \Delta_{\sigma_{He}^a} = \sigma_{He}^a\frac{\sigma_a}{a} = 3,68 \frac{8,82}{351,36} = 0,09 \cdot 10^{-19} \text{ м}^2 +\end{equation*} +\end{enumerate} + +\section{Результаты и обсуждения} +\begin{enumerate} +\item По графикам 1-4 отчетливо видно, что процесс диффузии подчиняется закону (6). +\item Из графика 5 видно, что коэффициент диффузии обратно пропорционален давлению. Об этом говорят значения величин $\frac{\chi^2}{i}$ и $p$. +\item Сравним полученный коэффициент диффузии для атмосферного давления при $25^\circ C$ с табличным для $20^\circ C$. +\begin{table}[h!] + \centering + \begin{tabular}{|c|c|c|} + \hline + Величина & Эксп. зн. & Табл. зн. \\ + \hline + $D,\ \frac{\text{см}^2}{\text{с}}$ & $0{,}817$ & $0{,}697$ \\ \hline + $\sigma_D,\ \frac{\text{см}^2}{\text{с}}$ & $0{,}075$ & $0{,}120$ \\ \hline + $\varepsilon_D,\ \%$ & $9{,}2$ & $17{,}2$ \\ + \hline + \end{tabular} + \caption{Таблица 3. Сравнение экспериментального и табличного значений коэффициента диффузии} +\end{table} +С учетом грубых теоретических приближений, а также погрешностей, результат можно считать приемлимым. + +\item Сравним экспериентальное и высчитанное на основе табличных данных значения эффективного сечения столкновений атомов гелия с молекулами воздуха. +\begin{table}[h!] + \centering + \begin{tabular}{|c|c|c|} + \hline + Величина & Эксп. зн. & Табл. зн. \\ + \hline + $\sigma,\ 10^{-19} \text{ м}^2$ & $2{,}079$ & $2{,}437$ \\ \hline + $\Delta\sigma,\ 10^{-19} \text{ м}^2$ & $0{,}192$ & $0{,}358$ \\ \hline + $\varepsilon_\sigma,\ \%$ & $9{,}2$ & $14{,}7$ \\ + \hline + \end{tabular} + \caption{Таблица 4. Сравнение экспериментального и табличного значений эффективного сечения $\sigma$} +\end{table} + +Полученное экспериметнальное значение довольно близко к табличному. +\end{enumerate} + +\section{Выводы} +Были проведены 6 серий измерений напряжения от времени для разных давлений. Были построены графики зависимостей $U(t)$, $lnU(t)$. По ним определили коэффициенты диффузии. По полученным данным построили график зависимости $D(\frac{1}{P})$. Экстраполируя график к атмосферному давлению, оценили соответствующий коэффициент диффузии (см таблицу 3). Вычислили длину свободного пробега, эффективное сечение столкновений атомов гелия с молекулами воздуха для каждого давления. Сравнили со значениями, вычисленными на основе табличного значения коэффициента диффузии. + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/2.2.1/pdf/Kotlyarov_M.pdf b/2.2.1/pdf/Kotlyarov_M.pdf new file mode 100644 index 00000000..249805f4 Binary files /dev/null and b/2.2.1/pdf/Kotlyarov_M.pdf differ diff --git a/2.2.3/Kotlyarov_M/Graphics/graph11.png b/2.2.3/Kotlyarov_M/Graphics/graph11.png new file mode 100644 index 00000000..95bfee80 Binary files /dev/null and b/2.2.3/Kotlyarov_M/Graphics/graph11.png differ diff --git a/2.2.3/Kotlyarov_M/Graphics/graph12.png b/2.2.3/Kotlyarov_M/Graphics/graph12.png new file mode 100644 index 00000000..8e298410 Binary files /dev/null and b/2.2.3/Kotlyarov_M/Graphics/graph12.png differ diff --git a/2.2.3/Kotlyarov_M/Graphics/graph13.png b/2.2.3/Kotlyarov_M/Graphics/graph13.png new file mode 100644 index 00000000..a9f69e93 Binary files /dev/null and b/2.2.3/Kotlyarov_M/Graphics/graph13.png differ diff --git a/2.2.3/Kotlyarov_M/Graphics/graph14.png b/2.2.3/Kotlyarov_M/Graphics/graph14.png new file mode 100644 index 00000000..d8444319 Binary files /dev/null and b/2.2.3/Kotlyarov_M/Graphics/graph14.png differ diff --git a/2.2.3/Kotlyarov_M/Pictures/Cylinder.png b/2.2.3/Kotlyarov_M/Pictures/Cylinder.png new file mode 100644 index 00000000..2599fd00 Binary files /dev/null and b/2.2.3/Kotlyarov_M/Pictures/Cylinder.png differ diff --git a/2.2.3/Kotlyarov_M/Pictures/Scheme.png b/2.2.3/Kotlyarov_M/Pictures/Scheme.png new file mode 100644 index 00000000..9f0ebd02 Binary files /dev/null and b/2.2.3/Kotlyarov_M/Pictures/Scheme.png differ diff --git a/2.2.3/Kotlyarov_M/Pictures/ustanovka.png b/2.2.3/Kotlyarov_M/Pictures/ustanovka.png new file mode 100644 index 00000000..4d66543b Binary files /dev/null and b/2.2.3/Kotlyarov_M/Pictures/ustanovka.png differ diff --git a/2.2.3/Kotlyarov_M/main.pdf b/2.2.3/Kotlyarov_M/main.pdf new file mode 100644 index 00000000..5bf8282d Binary files /dev/null and b/2.2.3/Kotlyarov_M/main.pdf differ diff --git a/2.2.3/Kotlyarov_M/main.tex b/2.2.3/Kotlyarov_M/main.tex new file mode 100644 index 00000000..006065a2 --- /dev/null +++ b/2.2.3/Kotlyarov_M/main.tex @@ -0,0 +1,283 @@ +\documentclass[a4paper]{article} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[russian,english]{babel} +\usepackage[T2A]{fontenc} +\usepackage[left=10mm, top=20mm, right=18mm, bottom=15mm, footskip=10mm]{geometry} +\usepackage{indentfirst} +\usepackage{amsmath,amssymb} +\usepackage[italicdiff]{physics} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{caption} +\usepackage{float} +\renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}} +\usepackage{tablefootnote} +\usepackage{footmisc} +\usepackage[parfill]{parskip} +\usepackage[utf8]{inputenc}\newcommand{\approxtext}[1]{\ensuremath{\stackrel{\text{#1}}{\approx}}} +\graphicspath{{images/}} +\DeclareGraphicsExtensions{.pdf,.png,.jpg} +\usepackage{wrapfig} +\captionsetup{labelformat=empty} +\usepackage{caption} +\captionsetup[figure]{name=Рисунок} +\captionsetup[table]{name=Таблица} + +\title{\textbf{Отчет о выполненой лабораторной работе 2.2.3}} +\date{} +\author{Котляров Михаил, Б01-402} + +\begin{document} + +\maketitle + + \section{Введение} + + \textbf{Цель работы:} измерить коэффициент теплопроводности воздуха при атмосферном +давлении в зависимости от температуры.\\ + + \textbf{Оборудование:} цилиндрическая колба с натянутой по оси нитью; термостат; +вольтметр и амперметр (цифровые мультиметры); источник +постоянного напряжения; магазин сопротивлений. + + \section{Теоретические сведения} +\textit{Теплопроводность} — это процесс передачи тепловой энергии от нагретых частей системы к холодным за счёт хаотического движения частиц среды (молекул, атомов и т.п.). В газах теплопроводность осуществляется за счёт непосредственной передачи кинетической энергии от быстрых молекул к медленным при их столкновениях. Перенос тепла описывается законом Фурье, утверждающим, что плотность потока энергии +\begin{equation*} + \overline{q} = -k \nabla T, + \eqno(1) +\end{equation*} где $k \left[ \dfrac{\text{Вт}}{\text{м} \cdot \text{К}} \right]$ - \textit{коэффициент теплопроводности}. +Среднее расстояние, на котором молекулы двигаются без столкновений, называется длиной свободного пробега. Будем обозначать эту величину $\lambda$. +Молекулярно-кинетическая теория дает следующую оценку для коэффициента теплопроводности газов: + +\begin{equation*} + k \sim \lambda \overline{\nu} \cdot n c_V \label{k}, + \eqno(2) +\end{equation*} +где $\lambda$ - длина свободного пробега молекул газа, $\overline{\nu} = \sqrt{\frac{8k_{\text{Б}}T}{\pi m}}$ — средняя скорость их теплового движения, $n$ — концентрация (объёмная плотность) газа, $c_V = \frac{i}{2}k_{\text{Б}}$ - его теплоёмкость при постоянном объёме в расчёте на одну молекулу ($i$ — эффективное число степеней свободы молекулы). Длина свободного пробега может быть оценена как $\lambda = \frac{1}{\sigma n}$, где $\sigma$ — эффективное сечение столкновений молекул друг с другом. В модели частиц, как одинаковых твердых шариков $\sigma = \pi d^2$, где $d$ - диаметр шарика. Тогда из (2) видно, что k не зависит от плотности и определяется только температурой. +Рассматривая стационарную теплопроводность в цилиндрической геометрии, где пренебрегаются теплоотвод через торцы и перепад температур между нитью и стенками, а параметры газа считаются зависящами только от расстояния до оси системы, справедлива следущая формула +\begin{equation*} + Q = \dfrac{2 \pi L}{\ln \dfrac{r_0}{r_1}} k \cdot \Delta T + \eqno(3) +\end{equation*} +\clearpage +\begin{figure}[h!] + \centering + \includegraphics[scale=0.8]{Pictures/Cylinder.png} + \caption{ + Рис. 1. Цилиндрическая установка + } + \end{figure} + +\section{Экспериментальная установка} +\begin{wrapfigure}{r}{0.4\textwidth} + \begin{center} + \includegraphics[width = 0.3\textwidth]{Pictures/ustanovka.png} + \end{center} + \textbf{\caption{Рис. 2. Схема установки}} + \end{wrapfigure} + Схема установки приведена на $\text{рис. 2.}$ На оси полой цилиндрической трубки с внутренним диаметром $2r_0\approx0,7\pm0,01$ см размещена металлическая нить диаметром $2r_1\approx0,05\pm0,003$ мм и длиной $L\approx40\pm0,2$ см (материал нити и точные геометрические размеры указаны в техническом описании установки). Полость трубки заполнена воздухом (полость через небольшое отверстие сообщается с атмосферой). Стенки трубки помещены в кожух, через которых пропускается вода из термостата, так что их температура $t_0$ поддерживается постоянной. Для предотвращения конвекции трубка расположена вертикально. + + Металлическая нить служит как источником тепла, так и датчиком температуры (термометром сопротивления). По пропускаемому через нить постоянному току $I$ и напряжению $U$ на ней вычисляется мощность нагрева по закону Джоуля–Ленца: $Q = UI$, и сопротивление нити по закону Ома: $R = \frac{U}{I}$.\\ +\begin{figure}[h!] + \centering + \includegraphics[scale=0.5]{Pictures/Scheme.png} + \caption{ + рис. 1 Электрическая схема установки + } + \end{figure} + Сопротивление нити является однозначной функцией её температуры $R (t)$. В исследуемом интервале температур ($20–80 ^\circ C$) зависимость сопротивления от температуры можно с хорошей точностью аппроксимировать линейной функцией: +\begin{equation*} + R(t) = R_{273} (1+\alpha t), + \eqno(4) +\end{equation*} +где $t$ - температура в $[^\circ C]$, $R_{273}$ - сопротивление нити при температуре $0 ^\circ C$ и $\alpha = \frac{1}{R_{273}}\frac{dR}{dT}$ - температурный коэффициент сопротивления материала. + +\section{Приборы и данные} +\begin{itemize} + \item Цифровые мульиметры Вольтметр универсальный B7-78/1, погрешность измерения постоянного тока 0,15\% + 0,02 мА, погрешность измерения постоянного напряжения 0,004\% + 0,007 мВ. + \item Термостат Witeg WCR-12, погрешность измерения температуры 0,2 $^\circ C$. + \item Источник постоянного напряжения GW Instek GPS-2303, погрешность 0,5\% + 10 мВ + \item Магазин сопротивлений МЕГЕОН05350, погрешность 5\%, 2\%, 1\%, 0,5\% для декад x0,1, x1, x10, x100 соответственно +\end{itemize} + +\section{Выполнение} +\begin{enumerate} +\item Проведем предварительные расчеты параметров опыта. Приняв максимально допустимый перегрев нити относительно термостата, а равным $\Delta t_{max} = 30 ^\circ C$ , а коэффициент теплопроводности воздуха $k \approx 25 \frac{\text{мВт}}{\text{м} \cdot \text{K}}$, оценим максимальную мощность нагрева. $Q_{max} = \dfrac{2 \pi L}{\ln \dfrac{r_0}{r_1}} k \cdot \Delta t_{max} = 381,4 \text{ мВт}$. Сопротивление платиновой нити при комнатной температуре $R_\text{н} \approx 20 \text{ Ом}$. Определим с помощью данных значений значения максимального тока в нити $I_{max}$ и максимального напряжения на ней $U_{max}$. +\begin{equation*} + U_{max} = \sqrt{Q_{max} R_\text{н}} = 2,76 \text{ В}, +\end{equation*} +\begin{equation*} + I_{max} = \sqrt{\frac{Q_{max}} {R_\text{н}}} = 138,1 \text{ мА}. +\end{equation*} +\item Показания гигрометра: температура у стены с окнами $17 ^\circ C$, влажность 79\%. Температруа термостата $23 ^\circ C$. Проведем первую серию измерений сопротивления нити $R_\text{н} = \frac{U}{I}$ от подаваемой на нее мощности $Q = UI$. Понижая сопротивление на магазине, будем ждать по 30-40 секунд для установления теплового равновесия. Убедимся в том, что зависимость линейная, построив график.\\ +По окончании первой серии перведем магазин сопротивления $R_\text{м}$ на 10 кОм, установив минимальный ток через нить. Повысим температуру в термостате и подождем 10-15 минут для установления теплового равновесия в системе. Проделаем этот опыт еще 3 раза для различных температур термостата. +\end{enumerate} +\section{Обработка результатов} +\begin{enumerate} +\item Проведя 4 серии мы получили следующие результаты. +\begin{table}[h!] + \centering + \begin{tabular}{|*{9}{c|}} +\hline + $R_\text{м}, \text{Ом}$ & $I, \text{мА}$ & $U, \text{мВ}$ & $Q, \text{мВт}$ & $\sigma_Q, \text{мВт}$ & $\varepsilon_Q, \%$ & $R, \text{Ом}$ & $\sigma_R, \text{Ом}$ & $\varepsilon_R, \%$ \\ \hline + 199.9 & 15.70 $\pm$ 0.04 & 308.5 & 4.843 & 0.013 & 0.28 & 19.650 & 0.055 & 0.28 \\ \hline + 99.9 & 28.22 $\pm$ 0.06 & 555.9 & 15.687 & 0.035 & 0.22 & 19.699 & 0.044 & 0.22 \\ \hline + 49.9 & 46.87 $\pm$ 0.09 & 930.6 & 43.617 & 0.084 & 0.19 & 19.855 & 0.038 & 0.19 \\ \hline + 29.9 & 63.54 $\pm$ 0.12 & 1275 & 81.014 & 0.147 & 0.18 & 20.066 & 0.036 & 0.18 \\ \hline + 9.9 & 97.40 $\pm$ 0.17 & 2016.2 & 196.378 & 0.335 & 0.17 & 20.700 & 0.035 & 0.17 \\ \hline + 4.9 & 111.71 $\pm$ 0.19 & 2352.1 & 262.753 & 0.441 & 0.17 & 21.055 & 0.035 & 0.17 \\ \hline + \end{tabular} + \caption{Таблица 1. $t = 23,0 ^\circ C$} +\end{table} + +\begin{table}[h!] + \centering + \begin{tabular}{|*{9}{c|}} +\hline + $R_\text{м}, \text{Ом}$ & $I, \text{мА}$ & $U, \text{мВ}$ & $Q, \text{мВт}$ & $\sigma_Q, \text{мВт}$ & $\varepsilon_Q, \%$ & $R, \text{Ом}$ & $\sigma_R, \text{Ом}$ & $\varepsilon_R, \%$ \\ \hline + 199.9 & 16.02 $\pm$ 0.04 & 322.8 & 5.171 & 0.014 & 0.27 & 20.150 & 0.055 & 0.27 \\ \hline + 99.9 & 29.26 $\pm$ 0.06 & 591.5 & 17.307 & 0.038 & 0.22 & 20.215 & 0.044 & 0.22 \\ \hline + 59.9 & 43.68 $\pm$ 0.09 & 888.4 & 38.805 & 0.076 & 0.20 & 20.339 & 0.040 & 0.20 \\ \hline + 39.9 & 57.88 $\pm$ 0.11 & 1186.2 & 68.657 & 0.127 & 0.18 & 20.494 & 0.038 & 0.18 \\ \hline + 19.9 & 85.15 $\pm$ 0.13 & 1783.4 & 151.857 & 0.264 & 0.17 & 20.944 & 0.036 & 0.17 \\ \hline + 9.9 & 110.13 $\pm$ 0.19 & 2369.1 & 260.909 & 0.439 & 0.17 & 21.512 & 0.036 & 0.17 \\ \hline + 6.9 & 120.32 $\pm$ 0.20 & 2622.2 & 315.503 & 0.526 & 0.17 & 21.794 & 0.036 & 0.17 \\ \hline + 3.9 & 132.13 $\pm$ 0.22 & 2929.2 & 387.035 & 0.639 & 0.17 & 22.169 & 0.037 & 0.17 \\ \hline + \end{tabular} + \caption{Таблица 2. $t = 30,0 ^\circ C$ } +\end{table} + +\begin{table}[h!] + \centering + \begin{tabular}{|*{9}{c|}} +\hline + $R_\text{м}, \text{Ом}$ & $I, \text{мА}$ & $U, \text{мВ}$ & $Q, \text{мВт}$ & $\sigma_Q, \text{мВт}$ & $\varepsilon_Q, \%$ & $R, \text{Ом}$ & $\sigma_R, \text{Ом}$ & $\varepsilon_R, \%$ \\ \hline + 199.9 & 15.96 $\pm$ 0.04 & 335.1 & 5.348 & 0.015 & 0.28 & 20.996 & 0.058 & 0.28 \\ \hline + 99.9 & 29.06 $\pm$ 0.06 & 612.1 & 17.788 & 0.039 & 0.22 & 21.063 & 0.046 & 0.22 \\ \hline + 59.9 & 43.24 $\pm$ 0.09 & 915.8 & 39.599 & 0.078 & 0.20 & 21.179 & 0.042 & 0.20 \\ \hline + 39.9 & 57.09 $\pm$ 0.11 & 1218.3 & 69.553 & 0.129 & 0.19 & 21.340 & 0.039 & 0.19 \\ \hline + 19.9 & 83.49 $\pm$ 0.13 & 1817.3 & 151.726 & 0.264 & 0.17 & 21.767 & 0.038 & 0.17 \\ \hline + 9.9 & 107.46 $\pm$ 0.18 & 2397.2 & 257.603 & 0.434 & 0.17 & 22.308 & 0.038 & 0.17 \\ \hline + 6.9 & 117.20 $\pm$ 0.20 & 2645.5 & 310.053 & 0.518 & 0.17 & 22.573 & 0.038 & 0.17 \\ \hline + 3.9 & 128.51 $\pm$ 0.22 & 2944.5 & 378.398 & 0.627 & 0.17 & 22.913 & 0.038 & 0.17 \\ \hline + \end{tabular} + \caption{Таблица 3. $t = 42,2 ^\circ C$} +\end{table} + +\begin{table}[h!] + \centering + \begin{tabular}{|*{9}{c|}} +\hline + $R_\text{м}, \text{Ом}$ & $I, \text{мА}$ & $U, \text{мВ}$ & $Q, \text{мВт}$ & $\sigma_Q, \text{мВт}$ & $\varepsilon_Q, \%$ & $R, \text{Ом}$ & $\sigma_R, \text{Ом}$ & $\varepsilon_R, \%$ \\ \hline + 199.9 & 15.87 $\pm$ 0.04 & 352.2 & 5.589 & 0.015 & 0.28 & 22.193 & 0.061 & 0.28 \\ \hline + 99.9 & 28.78 $\pm$ 0.06 & 640.4 & 18.431 & 0.040 & 0.22 & 22.252 & 0.049 & 0.22 \\ \hline + 59.9 & 42.62 $\pm$ 0.09 & 953.1 & 40.621 & 0.080 & 0.20 & 22.363 & 0.044 & 0.20 \\ \hline + 39.9 & 56.03 $\pm$ 0.11 & 1261.4 & 70.676 & 0.131 & 0.19 & 22.513 & 0.042 & 0.19 \\ \hline + 19.9 & 81.29 $\pm$ 0.13 & 1862.6 & 151.411 & 0.264 & 0.17 & 22.913 & 0.040 & 0.17 \\ \hline + 9.9 & 103.95 $\pm$ 0.18 & 2433.4 & 252.952 & 0.428 & 0.17 & 23.409 & 0.040 & 0.17 \\ \hline + \end{tabular} + \caption{Таблица 4. $t = 59,0 ^\circ C$} +\end{table} +\clearpage +\item Построим по методу наименьших квадратов график зависимости сопротивления нити от мощности $R(Q)$. + +\begin{figure}[h!] +\centering{\includegraphics[width=1\textwidth]{Graphics/graph11.png}} +\caption[]{\label{} График №1 Зависимость $R(Q)$} +\end{figure} + +Из графика видно, что зависимость линейная. Определим сопротивление нити при $Q \rightarrow 0$ $R_0$ и угловые коэффициенты $\frac{dR}{dQ}$ для исследуемых температур. + +\begin{table}[h!] + \centering + \begin{tabular}{|*{7}{c|}} +\hline + $T, ^\circ C$ & $\frac{dR}{dQ}, \frac{\text{Ом}}{\text{Вт}}$ & $\sigma_{\frac{dR}{dQ}}, \frac{\text{Ом}}{\text{Вт}}$ & $\varepsilon_{\frac{dR}{dQ}}, \%$ &$R_0, \text{Ом}$ & $\sigma_{R_0}, \text{Ом}$ & $\varepsilon_{R_0}, \%$ \\ \hline + 23.0 $\pm$ 0.2 & 5.483 & 0.018 & 0.33 & 19.6186 & 0.0018 & 0.009 \\ \hline + 30.0 $\pm$ 0.2 & 5.282 & 0.016 & 0.30 & 20.1299 & 0.0022 & 0.011 \\ \hline + 42.2 $\pm$ 0.2& 5.143 & 0.017 & 0.34 & 20.9765 & 0.0024 & 0.011 \\ \hline + 59.0 $\pm$ 0.2 & 4.932 & 0.009 & 0.19 & 22.1635 & 0.0008 & 0.004 \\ \hline + \end{tabular} + \caption{Таблица 5. Сопротивления $R_0$ и коэффициенты $\frac{dR}{dQ}$ для исследуемых температур} +\end{table} + +\item Пользуясь полученными значениями $R_0$ построим по МНК график зависимости сопротивления нити от температуры $R(T)$. +\clearpage +\begin{figure}[h!] +\centering{\includegraphics[width=1\textwidth]{Graphics/graph12.png}} +\caption[]{\label{} График №2 Зависимость $R(T)$} +\end{figure} + +Из графика видно, что зависимость линейная. Определим наклон прямой $\frac{dR}{dT}$, сопротивление при $0 ^\circ C$ $R_{273}$ и температурный коэффициент сопротивления материала нити $\alpha$. +\begin{equation*} + \frac{dR}{dT} = (7,05 \pm 0,02) \cdot 10^{-2} \frac{\text{Ом}}{\text{К}} (\varepsilon_{\frac{dR}{dT}} = 0,34\%), +\end{equation*} +\begin{equation*} + R_{273} = 18,004 \pm 0,003 \text{Ом} (\varepsilon_{R_{273}} = 0,02\%), +\end{equation*} +\begin{equation*} + \alpha = \frac{1}{R_{273}}\frac{dR}{dT} = 3,916 \pm 0,013, 10^{-3} \text{К}^{-1} (\varepsilon_{\alpha} = 0,34\%), +\end{equation*} + +Значение $\alpha$ довольно близко к табличному значению для платины ($\alpha_{Pt} ^{\text{табл}} = 3,8 \cdot 10^{-3} \text{К}^{-1} $). + +\item Найдем коэффициенты теплопроводности воздуха при атмосферном давлении для наших температур: +\begin{equation*} + k = \frac{dQ}{dT} \frac{ln\frac{r_o}{r_1}}{2\pi L} = \frac{\frac{dR}{dT}}{\frac{dR}{dQ}} \frac{ln\frac{r_o}{r_1}}{2\pi L} +\end{equation*} + +\begin{table}[h!] + \centering + \begin{tabular}{|*{4}{c|}} + \hline + $T, ^\circ C$ & $k, \frac{\text{мВт}}{\text{м} \cdot \text{K}}$ & $\sigma_k, \frac{\text{мВт}}{\text{м} \cdot \text{K}}$& $\varepsilon_k$, \% \\ \hline + 23.0 $\pm$ 0.2 & 25.28 & 0.42 & 1.65 \\ \hline + 30.0 $\pm$ 0.2 & 26.24 & 0.43 & 1.65 \\ \hline + 42.2 $\pm$ 0.2& 26.96 & 0.45 & 1.66 \\ \hline + 59.0 $\pm$ 0.2 & 28.11 & 0.46 & 1.63 \\ \hline + \end{tabular} + \caption{Таблица 6. Коэффициенты теплопроводности воздуха\\ при атмосферном давлении для исследуемых температур} +\end{table} + +\item Построим график зависимости теплопроводности воздуха от температуры газа k(T) в обычном и в двойном логарифмическом масштабах. + +\begin{figure}[h!] +\centering{\includegraphics[width=1\textwidth]{Graphics/graph14.png}} +\caption[]{\label{} График №3 Зависимость $k(T)$} +\end{figure} + +\begin{figure}[h!] +\centering{\includegraphics[width=1\textwidth]{Graphics/graph13.png}} +\caption[]{\label{} График №4 Зависимость $k(T)$ в двойном логарифмическом масштабе} +\end{figure} +\clearpage +Предполагая, что коэффициент теплопроводности воздуха зависит степенным образом от абсолютной температуры: $k \sim T^\beta$, вычислим по графику №4 $\beta = 0,88 \pm 0,07 (\varepsilon_\beta = 7,98 \%)$. Теоретический коэффициет равен 0.5, поскольку $k \sim \lambda \overline{\nu} \cdot n c_V \label{k}$, где $\overline{\nu} = \sqrt{\frac{8k_{\text{Б}}T}{\pi m}}$. + + +\section{Результаты и обсуждения} +Сравним полученные экспериментально значения коэффициента теплопроводности воздуха при атмосферном давлении для исследуемых температур с табличными значениями. В таблице приведены вычисленные на основе данных из книги Лабораторный практикум по общей физике Том 1 Термодинамика и молекулярная физика коэффициента по линейной зависимости ($k = aT + b$) и степенной с показателем $\frac{1}{2}$ ($k = \alpha \sqrt{T} + \beta$). +\begin{table}[h!] + \centering + \begin{tabular}{|*{10}{c|}} + \hline + $T, K$ & $k_\text{эксп}, \frac{\text{мВт}}{\text{м} \cdot \text{K}}$ & $k_{\text{теор}}^{\text{line}}, \frac{\text{мВт}}{\text{м} \cdot \text{K}}$ & $k_{\text{теор}}^{\text{root}}, \frac{\text{мВт}}{\text{м} \cdot \text{K}}$ & $\sigma_{\text{эксп}}, \frac{\text{мВт}}{\text{м} \cdot \text{K}}$ & $\sigma_{\text{теор}}^{\text{line}}, \frac{\text{мВт}}{\text{м} \cdot \text{K}}$ & $\sigma_{\text{теор}}^{\text{root}}, \frac{\text{мВт}}{\text{м} \cdot \text{K}}$ & $\varepsilon_{\text{эксп}}, \%$ & $\varepsilon_{\text{теор}}^{\text{line}}, \%$ & $\varepsilon_{\text{теор}}^{\text{root}}, \%$ \\ \hline + 296.0 $\pm$ 0.2 & 25.28 & 25.88 & 25.88 & 0.42 & 0.60 & 0.60 & 1.65 & 2.30 & 2.31 \\ \hline + 303.0 $\pm$ 0.2 & 26.24 & 26.41 & 26.41 & 0.43 & 0.17 & 0.17 & 1.65 & 0.63 & 0.63 \\ \hline + 315.2 $\pm$ 0.2 & 26.96 & 27.32 & 27.31 & 0.45 & 0.36 & 0.36 & 1.66 & 1.32 & 1.30 \\ \hline + 332.0 $\pm$ 0.2 & 28.11 & 28.64 & 28.66 & 0.46 & 0.53 & 0.55 & 1.63 & 1.85 & 1.91 \\ \hline + \end{tabular} + \caption{Таблица 7. Сравнение экспериментальных и табличных значений} +\end{table} + +Как мы видим, полученные значения с хорошей точностью совпадают с табличными. Также можно отметить, что расхождение между степенной и линейной зависимостью минимальны, что означает, что полученный по графику №4 показатель $\beta$, несмотря на сильное расхождение с теоретическим, для данного диапазона не сильно влияет на точность полученных значений. Стоит отметить, что эффективное сечение столкновение $\sigma$ является медленно убывающей функцией $T$, поэтому по соотношению (2) можно сделать вывод, что показатель $\beta$ должен быть больше $\frac{1}{2}$. + +\end{enumerate} + +\section{Выводы} +\begin{enumerate} +\item В данной работе были измерены зависимости сопротивления платиновой нити от подаваемой на нее мощности при разных температурах. Построены графики зависимостей $R(Q)$, получены угловые коэффициенты $\frac{dR}{dQ}$ и сопротивления нити при данных температурах (при $Q \rightarrow 0$). Относительная погрешность величин мала из-за высокой точности приборов (в частности мультиметров) +\item при помощи полученных сопротивлений построили график зависимости сопротивления нити от ее температуры $R(T)$, вычислили температурный коэффициент сопротивления платиновой нити. $\alpha_{\text{эксп}} = 3,916 \pm 0,013, 10^{-3} \text{К}^{-1}$ $(\varepsilon_{\alpha} = 0,34\%)$, $\alpha_{\text{табл}} = 3,8 \cdot 10^{-3} \text{К}^{-1}$. Значения отличаются на $0,116 \cdot 10^{-3} \text{К}^{-1} (\varepsilon = 3,05 \%)$, поэтому экспериментальная величина довольна близка к табличной. +\item Вычислили коэффициенты теплопроводности воздуха при атмосферном давлении и разных температурах. Табличные значения для температур $t_2 = 30,0 ^\circ C$ и $t_3 = 42,2 ^\circ C$ с большим числом измеренных точек зависимости $R(Q)$ входят в диапазон погрешности экспериментальных. Относительная погрешность коэффициента для каждой температуры не превосходит $1,66 \%$ (см. таблицу 7). +\item Предположив, что коэффициент теплопроводности зависит от температуры степенным образом, по графику зависимости $lnk(lnT)$ определили показатель. $\beta_{\text{эксп}} = 0,88 \pm 0,07 (\varepsilon_\beta = 7,98 \%)$, $\beta_{\text{теор}} = 0,5$. Значения сильно отличаются, однако исходя из таблицы 7, можно сделать вывод, что при показателе от 0,5 до 1 экспериментальные и теоретические значения rкоэффициентов теплопроводности не сильно расходятся. +\end{enumerate} + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/2.2.3/pdf/Kotlyarov_M.pdf b/2.2.3/pdf/Kotlyarov_M.pdf new file mode 100644 index 00000000..29a14e50 Binary files /dev/null and b/2.2.3/pdf/Kotlyarov_M.pdf differ diff --git a/2.3.1/Kotlyarov_M/Graphics/lnP_1.png b/2.3.1/Kotlyarov_M/Graphics/lnP_1.png new file mode 100644 index 00000000..edfd1d34 Binary files /dev/null and b/2.3.1/Kotlyarov_M/Graphics/lnP_1.png differ diff --git a/2.3.1/Kotlyarov_M/Graphics/lnP_2.png b/2.3.1/Kotlyarov_M/Graphics/lnP_2.png new file mode 100644 index 00000000..23a8f045 Binary files /dev/null and b/2.3.1/Kotlyarov_M/Graphics/lnP_2.png differ diff --git a/2.3.1/Kotlyarov_M/Graphics/series1_extended.png b/2.3.1/Kotlyarov_M/Graphics/series1_extended.png new file mode 100644 index 00000000..1246834a Binary files /dev/null and b/2.3.1/Kotlyarov_M/Graphics/series1_extended.png differ diff --git a/2.3.1/Kotlyarov_M/Graphics/series2_extended.png b/2.3.1/Kotlyarov_M/Graphics/series2_extended.png new file mode 100644 index 00000000..2dd323b0 Binary files /dev/null and b/2.3.1/Kotlyarov_M/Graphics/series2_extended.png differ diff --git a/2.3.1/Kotlyarov_M/Pictures/diffuzionni_nasos.png b/2.3.1/Kotlyarov_M/Pictures/diffuzionni_nasos.png new file mode 100644 index 00000000..e6a30612 Binary files /dev/null and b/2.3.1/Kotlyarov_M/Pictures/diffuzionni_nasos.png differ diff --git a/2.3.1/Kotlyarov_M/Pictures/ionizacionni_monometr.png b/2.3.1/Kotlyarov_M/Pictures/ionizacionni_monometr.png new file mode 100644 index 00000000..3699bbd1 Binary files /dev/null and b/2.3.1/Kotlyarov_M/Pictures/ionizacionni_monometr.png differ diff --git a/2.3.1/Kotlyarov_M/Pictures/termopara_graduirovka.png b/2.3.1/Kotlyarov_M/Pictures/termopara_graduirovka.png new file mode 100644 index 00000000..7a941aa1 Binary files /dev/null and b/2.3.1/Kotlyarov_M/Pictures/termopara_graduirovka.png differ diff --git a/2.3.1/Kotlyarov_M/Pictures/termoparni_monometr.png b/2.3.1/Kotlyarov_M/Pictures/termoparni_monometr.png new file mode 100644 index 00000000..113af829 Binary files /dev/null and b/2.3.1/Kotlyarov_M/Pictures/termoparni_monometr.png differ diff --git a/2.3.1/Kotlyarov_M/Pictures/ustanovka.png b/2.3.1/Kotlyarov_M/Pictures/ustanovka.png new file mode 100644 index 00000000..8d9e9f6c Binary files /dev/null and b/2.3.1/Kotlyarov_M/Pictures/ustanovka.png differ diff --git a/2.3.1/Kotlyarov_M/description/photo_5229027214803201983_y.jpg b/2.3.1/Kotlyarov_M/description/photo_5229027214803201983_y.jpg new file mode 100644 index 00000000..e8edbfe0 Binary files /dev/null and b/2.3.1/Kotlyarov_M/description/photo_5229027214803201983_y.jpg differ diff --git a/2.3.1/Kotlyarov_M/description/photo_5229027214803201984_y.jpg b/2.3.1/Kotlyarov_M/description/photo_5229027214803201984_y.jpg new file mode 100644 index 00000000..8bfb05f6 Binary files /dev/null and b/2.3.1/Kotlyarov_M/description/photo_5229027214803201984_y.jpg differ diff --git a/2.3.1/Kotlyarov_M/description/photo_5229027214803201987_y.jpg b/2.3.1/Kotlyarov_M/description/photo_5229027214803201987_y.jpg new file mode 100644 index 00000000..6dd9f6d4 Binary files /dev/null and b/2.3.1/Kotlyarov_M/description/photo_5229027214803201987_y.jpg differ diff --git a/2.3.1/Kotlyarov_M/description/photo_5229027214803201988_y.jpg b/2.3.1/Kotlyarov_M/description/photo_5229027214803201988_y.jpg new file mode 100644 index 00000000..c5c7a2d8 Binary files /dev/null and b/2.3.1/Kotlyarov_M/description/photo_5229027214803201988_y.jpg differ diff --git a/2.3.1/Kotlyarov_M/description/photo_5229027214803201989_y.jpg b/2.3.1/Kotlyarov_M/description/photo_5229027214803201989_y.jpg new file mode 100644 index 00000000..a8734d5c Binary files /dev/null and b/2.3.1/Kotlyarov_M/description/photo_5229027214803201989_y.jpg differ diff --git a/2.3.1/Kotlyarov_M/description/photo_5229027214803201990_y.jpg b/2.3.1/Kotlyarov_M/description/photo_5229027214803201990_y.jpg new file mode 100644 index 00000000..38c36b5b Binary files /dev/null and b/2.3.1/Kotlyarov_M/description/photo_5229027214803201990_y.jpg differ diff --git a/2.3.1/Kotlyarov_M/description/photo_5229027214803201991_y.jpg b/2.3.1/Kotlyarov_M/description/photo_5229027214803201991_y.jpg new file mode 100644 index 00000000..ea4883f0 Binary files /dev/null and b/2.3.1/Kotlyarov_M/description/photo_5229027214803201991_y.jpg differ diff --git a/2.3.1/Kotlyarov_M/main.pdf b/2.3.1/Kotlyarov_M/main.pdf new file mode 100644 index 00000000..6d1dc94c Binary files /dev/null and b/2.3.1/Kotlyarov_M/main.pdf differ diff --git a/2.3.1/Kotlyarov_M/main.tex b/2.3.1/Kotlyarov_M/main.tex new file mode 100644 index 00000000..81a7efdf --- /dev/null +++ b/2.3.1/Kotlyarov_M/main.tex @@ -0,0 +1,328 @@ +\documentclass[a4paper]{article} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[russian,english]{babel} +\usepackage[T2A]{fontenc} +\usepackage[left=10mm, top=20mm, right=18mm, bottom=15mm, footskip=10mm]{geometry} +\usepackage{indentfirst} +\usepackage{amsmath,amssymb} +\usepackage[italicdiff]{physics} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{caption} +\usepackage{float} +\usepackage{caption} +\renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}} +\usepackage{tablefootnote} +\usepackage{footmisc} +\usepackage{textcomp} +\usepackage{multicol} +\usepackage[parfill]{parskip} +\usepackage{makecell} +\usepackage{array} +\renewcommand\cellalign{cc} +\renewcommand\cellgape{\Gape[2pt]} +\usepackage[utf8]{inputenc}\newcommand{\approxtext}[1]{\ensuremath{\stackrel{\text{#1}}{\approx}}} +\usepackage[colorlinks=true, urlcolor=blue, linkcolor=blue, citecolor=blue]{hyperref} +\graphicspath{{images/}} +\DeclareGraphicsExtensions{.pdf,.png,.jpg} +\usepackage{wrapfig} +\captionsetup{labelformat=empty} +\usepackage{caption} +\captionsetup[figure]{name=Рисунок} +\captionsetup[table]{name=Таблица} + +\title{\textbf{Отчет о выполненой лабораторной работе 2.3.1}} +\date{} +\author{Котляров Михаил, Б01-402} + +\begin{document} + +\maketitle + + \section{Введение} + + \textbf{Цель работы:}: 1)измерение объемов форвакуумной и высоковакуумной частей установки; 2) определение скорости откачки системы в стационарном режим, а также по ухудшению и по улучшению вакуума.\\ + + \textbf{Оборудование:} вакуумная установка с манометрами: масляным, термопарным, и ионизационным; источник питания; видеокамера телефона. + +\section{Экспериментальная установка} + + \begin{figure}[h] + \center{\includegraphics[width=0.8\textwidth]{Pictures/ustanovka}} + \caption{Рис 1. Схема экспериментальной установки.} + \label{ris:ustanovka} + \end{figure} + + \paragraph{} + Установка изготовлена из стекла и состоит из форвакуумного баллона (ФБ), высоковакуумного диффузионного насоса (ВН), высоковакуумного баллона (ВБ), масляного (М) и ионизационного (И) манометров, термопарных манометров ($M_1$ и $M_2$), форвакуумного насоса (ФН) и соединительных кранов (Рис. \ref{ris:ustanovka}). + + \paragraph{Маслянный манометр:} + Представляет собой U-образную трубку, до половины наполненную вязким маслом, обладающим весьма низким давлением насыщенных паров. Так как плотность масла мала, $\rho = 0,885 г/см^3$ , то при помощи манометра можно измерить только небольшие разности давлений (до нескольких торр). + + \paragraph{Термопарный манометр:} + Чувствительным элементом манометра является термопара, заключенная в стеклянный баллон. Устройство термопары пояснено на (Рис. \ref{ris:termoparni_monometr}). По нити накала НН пропускается ток постоянной величины. Термопара ТТ присоединяется к милливольтметру, показания которого определяются температурой нити накала и зависят от отдачи тепла в окружающее пространство. Потери тепла определяются теплопроводностью нити и термопары, теплопроводностью газа, переносом тепла конвективными потоками газа внутри лампы и теплоизлучением нити (инфракрасное тепловое излучение). В обычном режиме лампы основную роль играет теплопроводность газа. При давлениях >1 торр теплопроводность газа, а вместе с ней и ЭДС термопары практически не зависят от давления газа, и прибор не работает. При улучшении вакуума средний свободный пробег молекул становится сравнимым с диаметром нити, теплоотвод падает и температура спая возрастает. При вакууме $\sim 10^{-3}$ торр теплоотвод, осуществляемый газом, становится сравнимым с другими видами потерь тепла и температура нити становится практически постоянной. Градуировочная кривая термопарного манометра приведена на (Рис. \ref{ris:termopara_graduirovka}). + + \begin{figure}[h] + \centering + \begin{minipage}{0.3\textwidth} + \centering + \includegraphics[width=0.7\textwidth]{Pictures/termoparni_monometr} + \caption{Рис 2. Схема термопарного манометра.} + \label{ris:termoparni_monometr} + \end{minipage}\hfill + \begin{minipage}{0.7\textwidth} + \centering + \includegraphics[width=0.7\textwidth]{Pictures/termopara_graduirovka} + \caption{Рис3. Градуировочная кривая термопарного манометра.} + \label{ris:termopara_graduirovka} + \end{minipage} + \end{figure} + + \paragraph{Ионизационный манометр:} + Схема ионизационного манометра изображена на (Рис. \ref{ris:ionizacionni_monometr}). Он представляет собой трехэлектродную лампу. Электроны испускаются накаленным катодом и увлекаются электрическим полем к аноду, имеющему вид спирали. Проскакивая за ее витки,электроны замедляются полем коллектора и возвращаются к катоду, а от него вновь увлекаются к аноду. Прежде чем осесть на аноде, они успевают много раз пересечь пространство между катодом и коллектором. На своем пути электроны ионизуют молекулы газа. Ионы, образовавшиеся между анодом и коллектором, притягиваются полем коллектора и определяют его ток. Ионный ток в цепи коллектора пропорционален плотности газа и поэтому может служить мерой давления. Калибровка манометра верна, если остаточным газом является воздух. Накаленный катод ионизационного манометра перегорает, если давление в системе превышает $10^{-3}$ торр. Поэтому включать ионизационный манометр можно, только убедившись по термопарному манометру, что давление в системе не превышает $10^{-3}$ торр. При измерении нить ионизационного манометра сильно греется. При этом она сама, окружающие ее электроды и стенки стеклянного баллона могут десорбировать поглощенные ранее газы. Выделяющиеся газы изменяют давление в лампе и приводят к неверным показаниям. Поэтому перед измерениями ионизационный манометр прогревается (обезгаживается) в течение 10–15 мин. Для прогрева пропускается ток через спиральный анод лампы. + + \vspace{1cm} + + \begin{figure}[h] + \center{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Pictures/ionizacionni_monometr}} + \caption{Рис 4. Схема ионизационного манометра.} + \label{ris:ionizacionni_monometr} + \end{figure} + + \newpage + + \paragraph{Диффузионный насос:} + Откачивающее действие диффузионного насоса основано на диффузии (внедрении) молекул разреженного воздуха в струю паров масла. Попавшие в струю молекулы газа увлекаются ею и уже не возвращаются назад. Устройство одной ступени масляного диффузионного насоса схематически показано на (Рис. \ref{ris:diffuzionni_nasos}) (в лабораторной установке используется несколько откачивающих ступеней). Масло, налитое в сосуд А, подогревается электрической печкой. Пары масла поднимаются по трубе Б и вырываются из сопла В. Струя паров увлекает молекулы газа,которые поступают из откачиваемого сосуда через трубку ВВ. Дальше смесь попадает в вертикальную трубу Г. Здесь масло осаждается на стенках трубы и маслосборников и стекает вниз, а оставшийся газ через трубу ФВ откачивается форвакуумным насосом. Диффузионный насос работает наиболее эффективно при давлении, когда длина свободного пробега молекул воздуха примерно равна ширине кольцевого зазора между соплом В и стенками трубы ВВ. В этом случае пары масла увлекают молекулы воздуха из всего сечения зазора. Давление насыщенных паров масла при рабочей температуре, создаваемой обогревателем сосуда А, много больше $5\cdot10^{-2}$ торр. Именно поэтому пары масла создают плотную струю, которая и увлекает с собой молекулы газа. Если диффузионный насос включить при давлении, сравнимом с давлением насыщенного пара масла, то последнее никакой струи не создаст и масло будет просто окисляться и угорать. + + \begin{figure}[h] + \centering + \includegraphics[width=0.6\textwidth]{Pictures/diffuzionni_nasos} + \caption{Рис 5. Схема одной ступени диффузионного насоса.} + \label{ris:diffuzionni_nasos} + \end{figure} + + \section{Процесс откачки} +Производительность насоса определяется скоростью откачки $W$ (л/с): $W$ - это объем газа, удаляемого из сосуда при данном давлении за единицу времени. Скорость откачки форвакуумного насоса равна ёмкости воздухозаборной камеры, умноженной на число оборотов в секунду.\\ +Обозначим через $Q_\text{д}$ количество газа, десорбирующегося с поверхности откачиваемого объема в единицу времени, через $Q_\text{и}$ - количество газа, проникающего в единицу времени в этот объем извне - через течи, через $Q_\text{н}$ - поток газа, поступающего из насоса назад в откачивающую систему. Будем измерять их в единицах $PV$. Основное уравнение, описывающее процесс откачки, имеет вид +\begin{equation*} + -VdP = (PW - Q_\text{д} - Q_\text{и} - Q_\text{н})dt. + \eqno(1) +\end{equation*} +При достижении предельного вакуума (давление $P_\text{пр}$) +\begin{equation*} + \frac{dP}{dt} = 0, +\end{equation*} +так что +\begin{equation*} + PW = Q_\text{д} + Q_\text{и} + Q_\text{н}. + \eqno(2) +\end{equation*} +Из этого уравнения получаем +\begin{equation*} + W = \frac{\displaystyle \sum Q_i}{P_\text{пр}}. +\end{equation*} +Обычно $Q_\text{и}$ постоянно, а $Q_\text{д}$ и $Q_\text{н}$ слабо зависят от времени. Считая скорость откачки $W$ постоянной, уравнение (1) можно проинтегрировать и, используя (2), получить +\begin{equation*} + P - P_\text{пр} = (P_0 - P_\text{пр}) e^{-\frac{t}{\tau}}, + \eqno(3) +\end{equation*} +где $\tau = \frac{V}{W}$ является мерой эффективности откачки системы.\\ +Для количества газа, протекающего через трубу в условиях высокого вакуума справедлива формула +\begin{equation*} + \frac{d(PV)}{dt} = \frac{4}{3} r^3 \sqrt{\frac{2\pi RT}{\mu}}\frac{P_2 - P_1}{L}. + \eqno(4) +\end{equation*} +Пренебрежем давлением $P_1$ у конца обращенного к насосу. Будем измерять количество газа, покидающего установку при давлении $P = P_2$. Пропускная способность трубы +\begin{equation*} + C_\text{тр} = \left(\frac{dV}{dt}\right) = \frac{4}{3} \frac{r^3}{L} \sqrt{\frac{2\pi RT}{\mu}}. + \eqno(5) +\end{equation*} +Для пропускной способности отверстия имеем формулу +\begin{equation*} + C_\text{отв} = S\frac{\bar{v}}{4}. + \eqno(6) +\end{equation*} + +\section{Приборы и данные} +\begin{itemize} + \item Вакуумметр Мерадат-ВИТ19ИТ2, тип первичного преобразователя ПМИ-2, погрешность в диапазоне $1\cdot10^{-4}$ Па до $5\cdot10^{-2}$ Па 35\% от измеряемой величины. + \item Вакуумметр Мерадат-ВИТ16Т4, тип первичного преобразователя ПМТ-2, погрешность в диапазоне $1\cdot10^{-3}$ торр до $0,2$ торр 30\% от измеряемой величины. + \item Масляной манометр (плотность масла $\rho = 0,885 \ \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$), погрешность измеряющей линейки 1 мм. + \item Источник питания GPR-711H30D, погрешность измерения $\pm(0,5 \% +2 ед.)$. + \item Термогигрометр с функцией отображения давления testo 622, погрешность измерения давления 3 гПа, температуры - 0,4 $^\circ C$, влажности - 2\% в диапазоне от 0 до 90 \%. +\end{itemize} + +\section{Выполнение} + + +Начальные параметры окружающей среды +\begin{equation*} + t = 22,2 ^\circ C, +\end{equation*} +\begin{equation*} + P_0 = 99,00 \text{ кПа}, +\end{equation*} +\begin{equation*} + \varphi = 41,6 \%. +\end{equation*} + +\subsection{Измерение объема баллонов} +\begin{enumerate} +\item Ход выполнения +Перед началом работы убедимся, что кран $K_2$ закрыт, а остальные открыты. Откроем кран $K_2$ на 1-2 минуты, чтобы воздух заполнил всю установку. Закроем краны $K_5$ и $K_6$. В этих кранах запирается $V_{56} = 50 \text{ см}^3$ воздуха при атмосферном давлении. Закроем кран $K_2$ и включим форвакуумный насос. В течение двух минут насос будет откачивать сам себя. Затем откроем кран $K_2$ и начнем откачку установки. После откачки закроем кран $K_2$, тем самым отсоединив установку от форвакуумного насоса. Давление на манометре ВИТ16 $P_\text{вак} = 1,8 \cdot 10^{-2}$ торр. Закроем кран $K_3$, отсоединив высоковакуумную часть от форвакуумной. Закроем кран $K_4$ для подготовки масляного манометра к измерениям. Откроем кран $K_5$, распространив запертый в капилляре 5-6 атмосферный воздух по всей форвакуумной части. Установившееся давление зафиксируем на манометре. +\begin{align*} + h_1 &= 11,6 \pm 0,1\text{ см}, & + h_2 &= 37,9 \pm 0,1\text{ см}, & + \Delta h' &= 26,3 \pm 0,2\text{ см}. +\end{align*} +Откроем кран $K_3$, заполнив высоковакуумную часть воздухом. Зафиксируем давление на масляном манометре. +\begin{align*} + h_3 &= 16,4 \pm 0,1\text{ см}, & + h_4 &= 33,3 \pm 0,1\text{ см}, & + \Delta h'' &= 16,9 \pm 0,2\text{ см}. +\end{align*} +Закроем кран $K_4$. Теперь рассчитаем объем форвакуумной $V_\text{фв}$ и высоковакуумной $V_\text{вв}$ частей с помощью закона Бойля-Мариотта +\begin{equation*} + P_1V_1= P_2V_2. +\end{equation*} +\begin{equation*} + P_0V_{56} = (V_{56} + V_\text{фв})\rho_{\text{масло}} g \Delta h', +\end{equation*} +\begin{equation*} + V_\text{фв} = V_{56}(\frac{P_0}{\rho_{\text{масло}} g \Delta h'} - 1) = 0,05 \cdot (\frac{99000}{885 \cdot 9,81 \cdot 0,263} - 1) \approx 2,118 \text{ л}, +\end{equation*} +\begin{equation*} + V_\text{вв} = V_{56}(\frac{P_0}{\rho_{\text{масло}} g \Delta h''} - 1) - V_\text{фв} = 0,05 \cdot (\frac{99000}{885 \cdot 9,81 \cdot 0,169} - 1) - 2,118 \approx 1,206 \text{ л}, +\end{equation*} +\begin{equation*} +\sigma_{V_\text{фв}} = (V_\text{фв} + V_{56}) \cdot \sqrt{\left( \frac{V_\text{фв}}{V_\text{фв} + V_{56}} \frac{\sigma_{V_{56}}}{V_{56}} \right)^2 + \left(\frac{\sigma_\rho}{\rho}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_h}{h}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_P}{P}\right)^2} = +\end{equation*} +\begin{equation*} += \sqrt{\left( 0,004 \right)^2 + \left(0,002\right)^2 + \left(0,017\right)^2 + \left(0,007\right)^2} = 0,018 \text{ л}, +\end{equation*} +\begin{equation*} +\sigma_{V_\text{вв}} = 0,060 \text{ л}, +\end{equation*} + +\item Итого значения для объемов $V_\text{фв} = 2,118 \pm 0,018$ ($\varepsilon_\text{фв} =0,87 \%$), $V_\text{вв} = 1,206 \pm 0,060$ ($\varepsilon_\text{вв} =5,00 \%$). + +\subsection{Получение высокого вакуума и измерение скорости откачки} + +\item Откроем все краны и откачаем всю систему до давления $\sim 1\cdot 10^{-2}$ торр. После этого приступим к откачке высоковакуумного баллона с помощью диффузионного насоса. Выставим на источнике питания ток $I = 0,6$ А, подождем приблизительно 5 минут, чтобы масло прогрелось, а затем постепенно установим ток 1,27 А. Дождемся давления $\sim 3\cdot 10^{-4}$ торр и запустим ионизационный манометр. После того, как давление достигнет $\sim 1\cdot 10^{-4}$ торр, проведем дегазацию.\\ + Выждав установленное время дегазации, давление достигло $P_{\text{пр}} = (8,30 \pm 2,91) \cdot 10^{-5}$ торр. Теперь будем фиксировать изменение давления от времени с помощью видеокамеры телефона. Для этого закроем кран $K_3$, отключив тем самым откачку высоковамуумного баллона. Будем фиксировать ухудшение вакуума до давления $\sim 5\cdot 10^{-4}$, а затем опять откроем кран $K_3$ и будем фиксировать улучшение. Проделаем этот опыт два раза.\\ + По полученным данным построим зависимость $P(t)$. Также для экспоненциального участка при улучшении давления построим график зависимости $\ln(P - P_{\text{пр}})$. +\begin{figure}[h!] +\centering{\includegraphics[width=1\textwidth]{Graphics/series2_extended.png}} +\caption[]{\label{} График 1. График зависимости давления от времени $P(t)$ для первой серии} +\end{figure} +\begin{figure}[h!] +\centering{\includegraphics[width=1\textwidth]{Graphics/series1_extended.png}} +\caption[]{\label{} График 2. График зависимости давления от времени $P(t)$ для второй серии} +\end{figure} +\clearpage +\begin{figure}[h!] +\centering{\includegraphics[width=1\textwidth]{Graphics/lnP_2.png}} +\caption[]{\label{} График 3. График зависимости логарифма разности давления и предельного давления от времени $\ln(P - P_{\text{пр}})$ для первой серии} +\end{figure} +\begin{figure}[h!] +\centering{\includegraphics[width=1\textwidth]{Graphics/lnP_1.png}} +\caption[]{\label{} График 4. График зависимости логарифма разности давления и предельного давления от времени $\ln(P - P_{\text{пр}})$ для второй серии} +\end{figure} +\clearpage +Получившиеся параметры прямых +\begin{equation*} + k_1^{lin} = (1.324 \pm 0,006) \cdot 10^{-5} \ \frac{\text{торр}}{\text{с}}, +\end{equation*} +\begin{equation*} + k_2^{lin} = (1.314 \pm 0,005) \cdot 10^{-5} \ \frac{\text{торр}}{\text{с}}, +\end{equation*} +\begin{equation*} + \frac{1}{k_1^{exp}} = \tau_1 = (5,01 \pm 0,07) \ \text{с}, +\end{equation*} +\begin{equation*} + \frac{1}{k_2^{exp}} = \tau_2 = (5,35 \pm 0,05) \ \text{с}, +\end{equation*} +\begin{equation*} + \tau = \bar{\tau} = \frac{\tau_1 + \tau_2}{2} = (5,18 \pm 0,06) \ \text{с}. +\end{equation*} + +\item Рассчитаем скорость откачки $W$ +\begin{equation*} + W = \frac{V_\text{вв}}{\tau} = \frac{1,206}{5,18} = 0,233 \ \frac{\text{л}}{\text{с}}, +\end{equation*} +\begin{equation*} + \sigma_W = W \sqrt{\left(\frac{\sigma_{V_\text{вв}}}{V_\text{вв}}\right)^2 +\left(\frac{\sigma_{\tau}}{\tau}\right)^2} = 0,233 \cdot \sqrt{\left( 0,05\right)^2 + \left(0,01\right)^2} = 0,012 \ \frac{\text{л}}{\text{с}}, +\end{equation*} +\begin{equation*} + \varepsilon_W = 5,14 \%. +\end{equation*} + +\item Оценим величину потока газа $Q_{\text{н}}$, поступающего из насоса назад в откачиваемую систему. Воспользуемся уравнением +\begin{equation*} + V_{\text{вв}}dP = (Q_\text{д} + Q_\text{и})dt. +\end{equation*} +В качестве $k = \frac{dP}{dt}$ возьмем $\bar{k}= \frac{k_1^{lin} + k_2^{lin}}{2} = (1,319 \pm 0,006) \cdot 10^{-5} \ \frac{\text{торр}}{\text{с}}$. Зная также, что $PW = Q_\text{д} + Q_\text{и} + Q_\text{н}$, получим +\begin{equation*} + Q_\text{н} = P_{\text{пр}} W - k V_{\text{вв}} = 8,30 \cdot 10^{-5} \cdot 0,233 - 1,319 \cdot 10^{-5} \cdot 1,206 = 3,5 \cdot 10^{-6} \frac{\text{торр} \cdot \text{л}}{\text{с}}. +\end{equation*} +Посчитаем погрешность +\begin{equation*} + \sigma_{Q_\text{н}} = \sqrt{\left(\sigma_{P_{\text{пр}}} W\right)^2 + \left({P_{\text{пр}}} \sigma_W\right)^2} + \sqrt{\left(\sigma_{V_{\text{вв}}} k\right)^2 + \left({V_{\text{вв}}} \sigma_k\right)^2} = +\end{equation*} +\begin{equation*} += 10^{-3} \cdot \sqrt{\left(6,762\right)^2 + \left(0,992\right)^2} + \sqrt{\left(0,793\right)^2 + \left(0,067\right)^2} = 7,6 \cdot 10^{-6} \frac{\text{торр} \cdot \text{л}}{\text{с}}. +\end{equation*} +Исходя из этого можно сделать вывод, что таким методом можно оценить только приблизительный порядок величины. + +\subsection{Метод введения искуственной течи} +\item Откроем кран $K_5$ и введем в сестему искуственную течь. Через 3-5 минут измерим установившееся давление. $P_{\text{уст}} = (1,60 \pm 0,56) \cdot 10^{-4}$. Также зафиксируем давление со стороны форвакуумной части.\\ $P_{\text{фв}} = (5,40 \pm 1,62) \cdot 10^{-3}$. С помощью соотношений $P_{\text{пр}} W = Q_1$, $P_{\text{уст}} W = Q_1 + \frac{d(PV)_{\text{кап}}}{dt}$ а также формулы (4), исключив$WQ_1$ найдем скорость откачки системы $W$. Размеры капилляра $r = 0,8 \pm 0,1 \ \text{мм}$, $L = 10,8 \pm 0,1 \ \text{см}$. +\begin{equation*} + C_\text{кап} = \frac{4}{3} \frac{(0,8\cdot 10^{-3})^3}{10,8 \cdot 10^{-2}} \sqrt{\frac{2 \cdot 3,1415 \cdot 8,31 \cdot (273 + 22,2)}{29 \cdot 10^{-3}}} = 5,76 \cdot 10^{-7} \ \frac{\text{м}^3}{\text{с}}, +\end{equation*} +\begin{equation*} + \sigma_{C_\text{кап}} = C_\text{кап} \sqrt{\left(\frac{3\sigma_r}{r}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_L}{L}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_T}{T}\right)^2} = +\end{equation*} +\begin{equation*} += 5,76 \cdot 10^{-7} \cdot \sqrt{\left(0,375\right)^2 + \left(0,009\right)^2 + \left(0,001\right)^2} = 2,16 \cdot 10^{-7} \ \frac{\text{м}^3}{\text{с}}, +\end{equation*} +\begin{equation*} + W = \frac{C_\text{кап}(P_{\text{фв}} - P_{\text{уст}})}{P_{\text{уст}} - P_{\text{пр}}} = \frac{2,16 \cdot 10^{-7} \cdot (5,4 \cdot 10^{-3} - 1,6 \cdot 10^{-4} )}{1,6 \cdot 10^{-4} - 8,3 \cdot 10^{-5}} = 3,92 \cdot 10^{-5} \ \frac{\text{м}^3}{\text{с}} = 0,04 \ \frac{\text{л}}{\text{с}}, +\end{equation*} +\begin{equation*} + \sigma_W = C_\text{кап} \sqrt{\left(\frac{\partial W}{\partial P_{\text{фв}}}\frac{\sigma{P_{\text{фв}}}}{C_\text{кап}}\right)^2 + \left(\frac{\partial W}{\partial P_{\text{уст}}}\frac{\sigma{P_{\text{уст}}}}{C_\text{кап}}\right)^2 + \left(\frac{\partial W}{\partial P_{\text{пр}}}\frac{\sigma{P_{\text{пр}}}}{C_\text{кап}}\right)^2 + \left(\frac{\partial W}{\partial C_\text{кап}}\frac{\sigma{C_\text{кап}}}{C_\text{кап}}\right)^2} = +\end{equation*} +\begin{equation*} += 5,76 \cdot 10^{-7} \cdot \sqrt{\left(2\right)^2 + \left(5\right)^2 + \left(3\right)^2 + \left(3\right)^2} = 3,77 \cdot 10^{-5} \ \frac{\text{м}^3}{\text{с}}, +\end{equation*} +\begin{equation*} + \varepsilon_W = 96 \%. +\end{equation*} + +Таким образом величина $W \approx 0,04 \ \frac{\text{л}}{\text{с}}$ получена с огромной погрешностью, что говорит о неточности такого метода измерения. + +\end{enumerate} + +\section{Результаты и обсуждения} +\begin{enumerate} +\item Вычисленные объёмы форвакуумного и высоковакуумного баллонов получены с хорошей точностью. \\$V_\text{фв} = 2,118 \pm 0,018$ ($\varepsilon_\text{фв} =0,87 \%$), $V_\text{вв} = 1,206 \pm 0,060$ ($\varepsilon_\text{вв} =5,00 \%$). +\item По графикам 1-4 отчетливо видно, что давление растет линейно со временем при просачивании воздуха, а откачка идет по экспоненте.\\ С помощью графиков 3-4 получили характерное время откачки $\tau = (5,18 \pm 0,06) \ \text{с}$. +\item С помощью двух методов мы определили скорость откачки $W$: по улучшению вакуума (метод 1) и по введению искусственной течи (метод 2). +\begin{table}[h!] + \centering + \begin{tabular}{|c|c|c|c|} + \hline + Метод & $W,\ \frac{\text{л}}{\text{с}}$ & $\sigma_W,\ \frac{\text{л}}{\text{с}}$ & $\varepsilon_W,\ \%$ \\ + \hline + 1 & $0{,}233$ & $0{,}012$ & $5{,}1$ \\ \hline + 2 & $0{,}039$ & $0{,}038$ & $96{,}1$ \\ + \hline + \end{tabular} + \caption{Сравнение результатов измерения скорости откачки разными методами} +\end{table} +\\Первый метод оказался довольно точным, погрешность составила всего 5 \%. Второй метод не подходит для измерений с большой точностью, а только для грубой оценки. Погрешность радиуса дает больший клад, т.к. зависимость от куба, поэтому погрешность почти равна самой величине. +\item Оцененное значение для потока газа $Q_\text{н} = (3,5 \pm 7,6) \cdot 10^{-6} \frac{\text{торр} \cdot \text{л}}{\text{с}}$ также получено исключительно оценочно, о этом можно судить исходя из погрешности. +\end{enumerate} + +\section{Выводы} +Были вычислены с помощью вакуумной установки, манометров и закона Бойля-Мариотта объемы форвакуумного и высоковакуумного баллонов. С помощью двух методов определили скорость откачки насоса. Построили графики зависимостей $P(t)$ и $\ln(P - P_\text{пр})$. Оценили значение для потока газа, поступающего из насоса назад в откачиваемую систему. + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/2.3.1/pdf/Kotlyarov_M.pdf b/2.3.1/pdf/Kotlyarov_M.pdf new file mode 100644 index 00000000..aa22061d Binary files /dev/null and b/2.3.1/pdf/Kotlyarov_M.pdf differ diff --git a/2.5.1/Kotlyarov_M/Graphics/graph1(2).png b/2.5.1/Kotlyarov_M/Graphics/graph1(2).png new file mode 100644 index 00000000..af809efc Binary files /dev/null and b/2.5.1/Kotlyarov_M/Graphics/graph1(2).png differ diff --git a/2.5.1/Kotlyarov_M/Graphics/graph1.png b/2.5.1/Kotlyarov_M/Graphics/graph1.png new file mode 100644 index 00000000..19557e71 Binary files /dev/null and b/2.5.1/Kotlyarov_M/Graphics/graph1.png differ diff --git a/2.5.1/Kotlyarov_M/Graphics/graph2(2).png b/2.5.1/Kotlyarov_M/Graphics/graph2(2).png new file mode 100644 index 00000000..95c5fdf1 Binary files /dev/null and b/2.5.1/Kotlyarov_M/Graphics/graph2(2).png differ diff --git a/2.5.1/Kotlyarov_M/Graphics/graph2.jpg b/2.5.1/Kotlyarov_M/Graphics/graph2.jpg new file mode 100644 index 00000000..85684aba Binary files /dev/null and b/2.5.1/Kotlyarov_M/Graphics/graph2.jpg differ diff --git a/2.5.1/Kotlyarov_M/Graphics/graph2.png b/2.5.1/Kotlyarov_M/Graphics/graph2.png new file mode 100644 index 00000000..7e6dbd8c Binary files /dev/null and b/2.5.1/Kotlyarov_M/Graphics/graph2.png differ diff --git a/2.5.1/Kotlyarov_M/Graphics/graph3.png b/2.5.1/Kotlyarov_M/Graphics/graph3.png new file mode 100644 index 00000000..4d4ff77c Binary files /dev/null and b/2.5.1/Kotlyarov_M/Graphics/graph3.png differ diff --git a/2.5.1/Kotlyarov_M/Pictures/pic1.jpg b/2.5.1/Kotlyarov_M/Pictures/pic1.jpg new file mode 100644 index 00000000..c6586733 Binary files /dev/null and b/2.5.1/Kotlyarov_M/Pictures/pic1.jpg differ diff --git a/2.5.1/Kotlyarov_M/main.pdf b/2.5.1/Kotlyarov_M/main.pdf new file mode 100644 index 00000000..670c8c8f Binary files /dev/null and b/2.5.1/Kotlyarov_M/main.pdf differ diff --git a/2.5.1/Kotlyarov_M/main.tex b/2.5.1/Kotlyarov_M/main.tex new file mode 100644 index 00000000..43e6e4c6 --- /dev/null +++ b/2.5.1/Kotlyarov_M/main.tex @@ -0,0 +1,299 @@ +\documentclass[a4paper]{article} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[russian,english]{babel} +\usepackage[T2A]{fontenc} +\usepackage[left=10mm, top=20mm, right=18mm, bottom=15mm, footskip=10mm]{geometry} +\usepackage{indentfirst} +\usepackage{amsmath,amssymb} +\usepackage[italicdiff]{physics} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{caption} +\usepackage{float} +\renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}} +\usepackage{tablefootnote} +\usepackage{footmisc} +\usepackage[parfill]{parskip} +\usepackage[utf8]{inputenc}\newcommand{\approxtext}[1]{\ensuremath{\stackrel{\text{#1}}{\approx}}} +\graphicspath{{images/}} +\DeclareGraphicsExtensions{.pdf,.png,.jpg} +\usepackage{wrapfig} +\captionsetup{labelformat=empty} +\usepackage{caption} +\captionsetup[figure]{name=Рисунок} +\captionsetup[table]{name=Таблица} + +\title{\textbf{Отчет о выполненой лабораторной работе 2.5.1}} +\date{} +\author{Котляров Михаил, Б01-402} + +\begin{document} + +\maketitle + + \section{Введение} + + \textbf{Цель работы:} 1) измерение диаметра иглы с помощью известного коэффициента поверхностного натяжения спирта, измерение температурной зависимости коэффициента поверхностного натяжения дистиллированной воды 2) определение полной поверхностной энергии и теплоты, необходимой для изотермического образования единицы поверхности жидкости при различной температуре. \\ + \textbf{Оборудование:} прибор Ребиндера с термостатом и микроманометром; исследуемые жидкости; стаканы с дистиллированной водой, шприц для промывания; микроскоп; линейка. + + \section{Теоретические сведения} +\begin{enumerate} +\item \textbf{Термодинамика поверхностного натяжения.}\\ +Работа, необходимая для обратимого изотермического образования единицы площади поверхности жидкости, называется коэффициентом поверхностного натяжения и обозначается $\sigma$. +Коэффициент поверхностного натяжения равен силе, действующей на единицу длины контура поверхности жидкости. Эта сила направлена вдоль поверхности перпендикулярно линии контура. +\begin{equation*} + \sigma = \frac{f}{L}. + \eqno(1) +\end{equation*} +Из первого и второго начал термодинамики имеем: +\begin{equation*} + \delta Q = dU + \delta A, + \eqno(2) +\end{equation*} +\begin{equation*} + dS = \frac{\delta Q}{T}, + \eqno(3) +\end{equation*} +где $dS$ - энтропия, функцией состояния, и поэтому является полным дифференциалом. +Работа по увеличению площади поверхностни жидкости на величину $d\Pi$ внешними силами равна $\sigma d\Pi$ по определению. Соответственно работа поверхностного слоя жидкости равна $\delta A = -\sigma d\Pi$. Используя первое и второе начала термодинамики получаем +\begin{equation*} + \delta Q = dU_{\text{п}}-\sigma d\Pi, +\end{equation*} +\begin{equation*} + dU_{\text{п}} = TdS + \sigma d\Pi, + \eqno(4) +\end{equation*} +где $dU_{\text{п}}$ - полная поверхностная энергия. +Введем в эту формулу свободную энергию $\Psi_{\text{п}}$, равную по поределению +\begin{equation*} + \Psi_{\text{п}} = U_{\text{п}} - TS. + \eqno(5) +\end{equation*} +Тогда получим +\begin{equation*} + d\Psi_{\text{п}} = dU_{\text{п}} - SdT - TdS = TdS + \sigma d\Pi - SdT - TdS = -SdT + \sigma d\Pi. + \eqno(6) +\end{equation*} +Это соотношение между полными дифференциалами, поэтому +\begin{equation*} + S = - (\frac{\partial \Psi_{\text{п}}}{\partial T})_{\Pi}, + \eqno(7) +\end{equation*} +\begin{equation*} + \sigma = (\frac{\partial \Psi_{\text{п}}}{\partial \Pi})_{T}. + \eqno(8) +\end{equation*} +Интегрируя последнюю формулу, полагая, что при $\Psi_{\text{п}} = 0$, $\Pi = 0$, получаем +\begin{equation*} + \Psi_{\text{п}} = \sigma \Pi. + \eqno(9) +\end{equation*} + +Подставив в (7), получим +\begin{equation*} + S = -\Pi\frac{d\sigma}{dT}. + \eqno(10) +\end{equation*} +Находим из (5) и (9) полную поверхностную энергию +\begin{equation*} + U_{\text{п}} = (\sigma - T\frac{d\sigma}{dT})\Pi. + \eqno(11) +\end{equation*} +По первому начлау термодинамики для увеличения площади поверхности нужно подвести тепло +\begin{equation*} + Q = \Delta U_{\text{п}} - \sigma \Delta \Pi = -T\frac{d\sigma}{dT}\Delta \Pi. + \eqno(12) +\end{equation*} +Следовательно, на единицу площади подведенное тепло равно +\begin{equation*} + q = -T\frac{d\sigma}{dT}. + \eqno(13) +\end{equation*} +\item \textbf{Давление под изогнутой поверхностью жидкости.}\\ +В общем случае нужно провести две взаимно перпендикулярные плоскости через нормаль к поверхности и найти у полученных в сечении линии радиусы соприкасающихся окружностей $r_1$ и $r_2$. Тогда +\begin{equation*} + \Delta P = \sigma(\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}). + \eqno(14) +\end{equation*} +Эта формула называется формулой Лапласа. В частности для сферической поверхности радиуса $r$ получим +\begin{equation*} + \Delta P = P_{\text{внутри}} - P_{\text{снаружи}}= \frac{2\sigma}{r}. + \eqno(15) +\end{equation*} +\end{enumerate} +\section{Экспериментальная установка} +Исследуемая жидкость (дистиллированная вода) наливается в сосуд (колбу) В (рис.1). Тестовая жидкость (этиловый спирт) наливается в сосуд Е. При измерениях колбы герметично закрываются пробками. Через одну из двух пробок проходит полая металлическая игла С. Этой пробкой закрывается сосуд, в котором проводятся измерения. Верхний конец иглы открыт в атмосферу, а нижний погружен в жидкость. Другой сосуд герметично закрывается второй пробкой. При создании достаточного разряжения воздуха в колбе с иглой пузырьки воздуха начинают пробулькивать через жидкость. Поверхностное натяжение можно определить по величине разряжения $\Delta P$ (1), необходимого для прохождения пузырьков (при известном радиусе иглы). + +Разряжение в системе создается с помощью аспиратора А. Кран К2 разделяет две полости аспиратора. Верхняя полость при закрытом кране К2 заполняется водой. Затем кран К2 открывают и заполняют водой нижнюю полость аспиратора. Разряжение воздуха создается в нижней полости при открывании крана К1, когда вода вытекает из неё по каплям. В колбах В и С, соединённых трубками с нижней полостью аспиратора, создается такое же пониженное давление. Разность давлений в полостях с разряженным воздухом и атмосферой измеряется спиртовым микроманометром (устройство микроманометра описано в Приложении). + +Для стабилизации температуры исследуемой жидкости через рубашку D колбы В непрерывно прогоняется вода из термостата. +\begin{figure}[H] + \centering + \includegraphics[scale=0.8]{Pictures/pic1.jpg} + \caption{ + Схема установки для измерения температурной зависимости + коэффициента поверхностного натяжения + } + \end{figure} +Обычно кончик иглы лишь касается поверхности жидкости, чтобы исключить влияние гидростатического давления столба жидкости. Однако при измерении температурной зависимости коэффициента поверхностного натяжения возникает ряд сложностей. Во-первых, большая теплопроводность металлической трубки приводит к тому, что температура на конце трубки заметно ниже, чем в глубине жидкости. Во-вторых, тепловое расширение поднимает уровень жидкости при увеличении температуры. + +Обе погрешности можно устранить, погрузив кончик трубки до самого дна. Полное давление, измеренное при этом микроманометром, $P = \Delta P + \rho gh$. Заметим, что $\rho gh$ от температуры практически не зависит, так как подъём уровня жидкости компенсируется уменьшением её плотности (произведение $\rho h$ определяется массой всей жидкости и поэтому постоянно). Величину $\rho gh$ следует измерить двумя способами. Во-первых, замерить величину $P_1= \Delta P'$, когда кончик трубки только касается поверхности жидкости. Затем при этой же температуре опустить иглу до дна и замерить $Р_2= \rho gh + \Delta P"$ ($\Delta P'$, $\Delta P''$ – давление Лапласа). Из-за несжимаемости жидкости можно положить $\Delta P' = \Delta P''$ и тогда $\rho gh = P_2-P_1$. Во-вторых, при измерениях $Р_1$ и $Р_2$ замерить линейкой глубину погружения иглы $h$. Это можно сделать, замеряя расстояние между верхним концом иглы и любой неподвижной частью прибора при положении иглы на поверхности и в глубине колбы. + +\section{Приборы и данные} +\begin{itemize} + \item Микроманометр ММН-2400(5)-1б0, погрешность 6 Па. + \item Микроскоп, погрешность 0,05 мм. + \item Термостат LT 100, погрешность измерения температуры 1,5 К. + \item Линейка, погрешность 0,5 мм. +\end{itemize} + +\section{Выполнение} +\begin{enumerate} +\item Убедившись в герметичности, начнем измерения. Откроем кран К1. Подберем частоту падения капель из аспиратора так, чтобы максимальное давление микроманометра не зависело от этой частоты (не чаще, чем 1 капля в 5 секунд) +\item Измерим максимальное давление $\Delta P_{\text{спирт}} = C \times h \times K \times 9,80655 \times \frac{\gamma_{\text{спирт в манометре}}}{\gamma_{\text{исслед. жид.}}}$ при пробулькивании пузырьков воздуха через спирт ($C = 1,00; K = 0,2; \gamma_{\text{спирт в манометре}} = 0,81351 \text{ } \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$, h - количество делений на шкале манометра). По разбросу результатов оценим случайную погрешность измерения. + +\begin{table}[h!] + \caption{Таблица №1 Измерение максимального давления $\Delta P_{\text{спирт}}$} + \begin{center} + \begin{tabular}{|*{3}{c|}} + \hline + \textnumero & $h$ & $\Delta P$, \text{Па} \\ \hline + 1& $51 \pm 3$& $100,03\pm 6$\\ \hline + 2&$51 \pm 3$& $100,03\pm 6$\\ \hline + 3& $50 \pm 3$& $98,07\pm 6$\\ \hline + 4& $51 \pm 3$& $100,03\pm 6$\\ \hline + 5& $51 \pm 3$& $100,03\pm 6$\\ \hline + \end{tabular} + \end{center} +\end{table} +Получаем $\langle \Delta P\rangle = 99,64 $ Па, $\sigma_{\Delta P}^{\text{случ}} = 0,88$ Па, полная погрешность давления $\sigma_{\Delta P} = 6,01 (\varepsilon_{\Delta P} = 6,0 \%)$. По табличному значению коэффициенту поверхностного натяжения спирта $\sigma_{\text{спирта}} = 22,78 \frac{\text{мН}}{\text{м}}$ и формуле (15) рассчитаем диаметр иглы +\begin{equation*} + \sigma_{d} = \frac{4 \sigma_{\text{спирта}} \sigma_{\Delta P}}{{\Delta P}^2}=0,055 \text{мм} +\end{equation*} +\begin{equation*} + d_{\text{иглы}}^{exp} = \frac{4 \sigma_{\text{спирта}}}{{\Delta P}}=0,915 \pm 0,055 \text{ мм }(\varepsilon_{d} = 6,0\%) +\end{equation*} +Диаметр, измеренный на микроскопе равен $d = 1,10 \pm 0,05 \text{ мм}$ ($\varepsilon = 4,5\%$) + +\item Промоем иглу 3 раза дистиллированной водой и перенесем в колбу с ней. Измерим максимальное давление $P_1$ при пробулькивании пузырьков, когда игла лишь касается поверхности воды. + +\begin{table}[h!] + \caption{Таблица №2 Измерение максимального давления $\Delta P_{1}$ на поверхности} + \begin{center} + \begin{tabular}{|*{3}{c|}} + \hline + \textnumero & $h$ & $\Delta P_1$, \text{Па} \\ \hline + 1& $129 \pm 3$& $206,15 \pm 6$\\ \hline + 2& $129 \pm 3$& $206,15 \pm 6$\\ \hline + 3& $129 \pm 3$& $206,15 \pm 6$\\ \hline + 4& $127,5\pm 3$& $203,75 \pm 6$\\ \hline + 5& $128,5\pm 3$& $205,35 \pm 6$\\ \hline + 6& $129 \pm 3$& $206,15 \pm 6$\\ \hline + \end{tabular} + \end{center} +\end{table} +Среднее давление $\langle \Delta P_1\rangle = 205,51 $ Па, $\sigma_{\Delta P}^{\text{случ}} = 0,40$ Па. +Расстояние от верхней точки крышки с иглой до закручивающего элемента, измеренное линейкой, равно $H_1 = 2,25 \pm 00,5\text{ см}$. + +\item Утопим иглу практически до самого дна. +\begin{table}[h!] + \caption{Таблица №3 Измерение максимального давления $\Delta P_{2}$ на дне} + \begin{center} + \begin{tabular}{|*{3}{c|}} + \hline + \textnumero & $h$ & $\Delta P_2$, \text{Па} \\ \hline + 1& $215 \pm 3$& $297,24 \pm 6$\\ \hline + 2& $215 \pm 3$& $297,24 \pm 6$\\ \hline + 3& $215 \pm 3$& $297,24 \pm 6$\\ \hline + \end{tabular} + \end{center} +\end{table} +Среднее давление $\langle \Delta P_2\rangle = 297,24 $ Па. $ H_2 = 0,65 \pm 00,5$ см. \newline Таким образом рассчитаем $\Delta H$ и сравним с измеренным значением\\ + +\begin{equation*} + \sigma_{H} = \frac{2\sigma_{P}}{\rho_{\text{воды}}g} = 0,12\text{ см}, +\end{equation*} +\begin{equation*} + \Delta H^{exp} = \frac{\Delta P_2 - \Delta P_1}{\rho_{\text{воды}}g} \approx 0,94 \pm 0,12 \text{ см}(\varepsilon = 13,1 \%). +\end{equation*} +\begin{equation*} + \Delta H^{real} = H_1 - H_2 = 1,60 \pm 0,05 \text{ см}, +\end{equation*} +Значительное расхождение в значениях можно объяснить тем, что возможно игла была загрязнена. Также температуры спирта и иглы не одинаковые. + +\item Включим термостат и подождем, пока температура для первой серии измерений установится. После этого подождем 5-7 минут для того, что исследуемая жидкость успела нагреться. Теперь проведем измерение давлений через каждые $5 ^\circ C$ c 20 до 60 $^\circ C$. +\begin{table}[h!] + \caption{Таблица №4 Измерение $\Delta P$ от температуры } + \begin{center} + \begin{tabular}{|*{7}{c|}} + \hline + $T$, K & Плотность воды\footnotemark[1], $\frac{\text{г}}{\text{см}^2}$&$\langle h\rangle$ & $\langle \Delta P\rangle$, \text{Па} & $\sigma, \frac{\text{мН}}{\text{м}}$ & $\Delta \sigma, \frac{\text{мН}}{\text{м}}$ & $\varepsilon_{\sigma}$, \% \\ \hline + $292,3\pm 1,5$& 0,99843 & $215\pm 3$& $297,24\pm6$& 81,74& 4,54& 5,55\\ \hline + $298,5\pm 1,5$& 0,99707 & $213\pm 3$& $291,25\pm6$& 80,09& 4,47& 5,58\\ \hline + $303,4\pm 1,5$& 0,99567 & $212\pm 3$& $288,45\pm6$& 79,32& 4,43& 5,59\\ \hline + $308,1\pm 1,5$&0,99406 & $211\pm 3$& $285,71\pm6$& 78,57& 4,40& 5,60\\ \hline + $313,1\pm 1,5$& 0,99225 & $211\pm 3$& $283,01\pm6$& 77,83& 4,36& 5,61\\ \hline + $318,2\pm 1,5$& 0,99025 & $210\pm 3$& $280,36\pm6$& 77,10& 4,33& 5,62\\ \hline + $323,0\pm 1,5$ & 0,9881 & $208\pm 3$& $277,74\pm6$& 76,38& 4,30& 5,63\\ \hline + $329,2\pm 1,5$& 0,9853 & $205\pm 3$& $275,29\pm6$& 75,71& 4,27& 5,64\\ \hline + $333,0\pm 1,5$ & 0,9832 & $204\pm 3$& $271,01\pm6$& 74,53& 4,21& 5,65\\ \hline + \end{tabular} + \end{center} +\end{table} +\footnotetext[1]{Данные для измерений с 1 по 4 взяты из книги Лабораторный практикум по общей физике Том 1 Термодинамика и молекулярная физика, остальные с сайта in-chemistry.ru, ссылка https://in-chemistry.ru/plotnost-vody-v-zavisimosti-ot-temperatury-tablitsa} +\item Построим по МНК график зависимости $\sigma(T)$ и определим по нему температурный коэффициент $\frac{d\sigma}{dT}$. +\clearpage +\begin{figure}[h!] +\centering{\includegraphics[width=1\textwidth]{Graphics/graph1.png}} +\caption[]{\label{} График №1 Зависимость $\sigma (T)$} +\end{figure} + +Температурный коэффициент $\frac{d\sigma}{dT}^{\text{эксп}} = -0,162 \pm 0,062 \frac{\text{мН}}{\text{м} \cdot K}(\varepsilon = 38,8\%)$. Высокая погрешность связана опять же с отличающейся температурой иглы, а также с неустановившейся нужной температурой системы, т.к. для этого требуется больше времени (мы ждали по 5 минут для каждой температуры). На графике также отмечены точки, соответствующие табличным значениям коэффициента. Построив по МНК прямую, получим, что $\frac{d\sigma}{dT}^{\text{теор}} = -0,164 \pm 0,067 \frac{\text{мН}}{\text{м} \cdot K}(\varepsilon = 40,7\%)$.\\ +Обратившись к учебнику Кикоиных "Молекулярная физика", в параграфе 103 можно обнаружить зависимость +\begin{equation*} + \frac{d\sigma}{dT} = -B(\frac{\rho}{\mu})^{\frac{2}{3}}, +\end{equation*} +где $B$ - постоянный коэффициент, равный 2,1 в СГС, $\mu$ - молекулярный вес жидкости. Отмечается приближенный характер этой формулы, однако экспериментально она проявляет себя с высокой точностью. С ее помощью даже считают молекулярный вес.\newline + +\item Построим график зависимости теплоты образования единицы поверхности жидкости $q = -T\frac{d\sigma}{dT} $ и поверхностной энергии $U$ единицы площади $\Pi$: $\frac{U}{\Pi} = (\sigma - T\frac{d\sigma}{dT}$) от температуры для наших значений температуры и коэффициентов поверхностного натяжения.\\ +\begin{figure}[h!] +\centering{\includegraphics[width=0.8\textwidth]{Graphics/graph2.png}} +\caption[]{\label{} График №2 Зависимость $q(T)$} +\end{figure} + +\begin{figure}[h!] +\centering{\includegraphics[width=0.8\textwidth]{Graphics/graph3.png}} +\caption[]{\label{} График №3 Зависимость $\frac{U}{\Pi}(T)$} +\end{figure} +\end{enumerate} +\clearpage +\section{Результаты и обсуждения} +Проведя серию измерений разницы давлений от температуры, мы получили следующие значения коэффициентов поверхностного натяжения:\newline + +\begin{table}[h!] + \caption{Таблица №5 Сравнение табличных и экспериментальных значений коэффициентов поверхностного натяжения воды} + \begin{center} + \begin{tabular}{|*{7}{c|}} + \hline + $T$, K & $\sigma^{\text{эксп}}$, $\frac{\text{мН}}{\text{м}}$ & $\sigma^{\text{табл}}$, $\frac{\text{мН}}{\text{м}}$ & $\Delta \sigma^{\text{эксп}}$, $\frac{\text{мН}}{\text{м}}$ & $\Delta \sigma^{\text{табл}}$, $\frac{\text{мН}}{\text{м}}$ & $\varepsilon_{\text{эксп}}$, \% & $\varepsilon_{\text{табл}}$, \%\\ \hline + $292,3\pm 1,5$& 81,74& 72,86& 4,54& 8,89& 5,55& 12,20\\ \hline + $298,5\pm 1,5$& 80,09& 71,88& 4,47& 8,20& 5,58& 11,42\\ \hline + $303,4\pm 1,5$& 79,32& 71,12& 4,43& 8,21& 5,59& 11,54\\ \hline + $308,1\pm 1,5$&78,57& 70,35& 4,40& 8,22& 5,60& 11,68\\ \hline + $313,1\pm 1,5$& 77,83& 69,54& 4,36& 8,28& 5,61& 11,91\\ \hline + $318,2\pm 1,5$& 77,01& 68,70& 4,33& 8,40& 5,60& 12,22\\ \hline + $323,0\pm 1,5$& 76,38& 67,91& 4,30& 8,47& 5,63& 12,47\\ \hline + $329,2\pm 1,5$& 75,71& 66,84& 4,27& 8,87& 5,64& 13,27\\ \hline + $333,0\pm 1,5$& 74,53& 66,18& 4,21& 8,35& 5,65& 12,61\\ \hline + \end{tabular} + \end{center} +\end{table} +Данные табличных коэффициентов были взяты изкниги Лабораторный практикум по общей физике Том 1 Термодинамика и молекулярная физика и рассчитаны с учетом линейной аппроксимации. Т.е. если температура $T$ лежит в пределах ближайших температур в таблице $T_1$ и $T_2$, то $\sigma = \sigma_1 + \frac{\sigma_2 - \sigma_1}{T_2 - T_1}(T - T_1)$ +Погрешность коэффициента обусловлена загрязнением оборудования (иглы, трубок), неравновесностью системы, погрешностью оборудования и случайными погрешностями эксперимента. +\section{Выводы} +В данной работе проведено измерение диаметра иглы с помощью известного коэффициента поверхностного натяжения спирта. $d_{\text{иглы}}^{exp} =0,915 \pm 0,055 \text{ мм }(\varepsilon_{d} = 6,0\%)$. Также диаметр был измерен с помощью микроскопа, $d = 1,10 \pm 0,05 \text{ мм}$ ($\varepsilon = 4,5\%$). Погрешность измерения с помощью микроскопа меньше, поэтому в дальнейшем мы использовали именно это значение. +Проверили установку, измерив разницу высот столбов исследуемой жидкости и вычислив по разнице давлений. $\Delta H^{real} = H_1 - H_2 = 1,60 \pm 0,05 \text{ см}$, $\Delta H^{exp} = 0,94 \pm 0,12 \text{ см}(\varepsilon = 13,1 \%)$. Большая разница обусловлена загрязнением оборудования. +Получили значения коэффициентов поверхностного натяжения дистиллированной воды при различных температурах, сравнили с табличными (см. таблицу №5). +Определили полную поверхностную энергию и теплоту, необходимую для изотермического образования единицы поверхности жидкости при различной температуре. Убедились, что с ростом температуры коэффициент поверхностного натяжения уменьшается, теплота увеличивается, а полная поверхностная энергия не меняется. Высокая погрешность величин обусловлена тем, что для установления теплового равновесия требуется больше времени (более 5 минут), чем мы ждали, а также погрешностью приборов. + + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/2.5.1/Kotlyarov_M/novoe-opisanie-laboratornoy-raboty-214.pdf b/2.5.1/Kotlyarov_M/novoe-opisanie-laboratornoy-raboty-214.pdf new file mode 100644 index 00000000..62d9c95f Binary files /dev/null and b/2.5.1/Kotlyarov_M/novoe-opisanie-laboratornoy-raboty-214.pdf differ diff --git a/2.5.1/pdf/Kotlyarov_M.pdf b/2.5.1/pdf/Kotlyarov_M.pdf new file mode 100644 index 00000000..670c8c8f Binary files /dev/null and b/2.5.1/pdf/Kotlyarov_M.pdf differ