update1

Author: cxy0714

static/media/U统计量计算.md

@@ -140,12 +140,15 @@ $$
 \end{aligned}
 $$
 
-这里我们暂且用$\mathbb{V}_{1,1=2}[h]$代表求和$\frac{1}{n}\sum_{1 \le i_1=i_2 \le n}  h(X_{i_1},X_{i_2})$, 它变成了一个1阶$V$统计量。然后看看3阶：
+这里我们暂且用$\mathbb{V}_{1,1=2}[h]$代表求和$\frac{1}{n}\sum_{1 \le i_1=i_2 \le n}  h(X_{i_1},X_{i_2})$, 它变成了一个1阶$V$统计量。然后看看3阶,我们就先把指标的范围$1$到$n$,以及为了平均除掉的因子$n(n-1)(n-2),n^3$等等先省略了：
 
 $$
 \begin{aligned}
- n(n-1)(n-2) \cdot \mathbb{U}_{3}[h] & = \sum_{1 \le i_1 \neq i_2 \le n} h(X_{i_1},X_{i_2},X_{i_3}) \\
- & = (\sum_{1 \le i_1, i_2, i_3 \le n} - \sum_{1 \le i_1=i_2, \ne i_3 \le n} ) h(X_{i_1},X_{i_2}) \\
- & = n^2 \mathbb{V}_{2}[h] - n \mathbb{V}_{1,1=2}[h]
+ \mathbb{U}_{3}[h] & = \sum_{i_1 \neq i_2 \neq i_3} h(X_{i_1},X_{i_2},X_{i_3}) \\
+ & = (\sum_{ i_1, i_2, i_3} - \sum_{(i_1=i_2) \ne i_3 } - \sum_{(i_1=i_3) \ne i_2 } - \sum_{(i_2=i_3) \ne i_1 }  - \sum_{i_1=i_2 = i_3 }) h(X_{i_1},X_{i_2},X_{i_3}) \\
+ & = \mathbb{V}_{3}[h]- \mathbb{U}_{2,1=2}[h] -\mathbb{U}_{2,1=3}[h] - \mathbb{U}_{2,2=3}[h]- \mathbb{U}_{1,1=2=3}[h].
 \end{aligned}
-$$
+$$
+我们先分到这一步，这里$(i_1=i_2) \ne i_3$代表$i_1=i_2=i$但是$i\neq i_3$.也就是说，这里只剩下2个指标$i,i_3$了，对应了一个$2$阶$U$统计量, 我们把它记作$\mathbb{U}_{2,1=2}$（忽略了因子$\frac{1}{n(n-1)}$）。另外几个记号同理，注意$1$阶$U$统计量和$1$阶$V$统计量一样。因此$\mathbb{U}_{3}$拆成了$\mathbb{V}_{3}$和比他低阶的$U$统计量，所以按照这个递推关系我们可以得到一个$U$拆$V$的算法。
+
+但是，我们再仔细看看，能不能有个更优雅的数学刻画呢？