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<meta charset="utf-8">
<title>プログラマの為の数学勉強会</title>
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paths: {
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numeric: "../lib/numeric-1.2.6",
MathJax: "https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.1/MathJax.js?config=TeX-AMS_HTML"
},
shim: {
d3: { exports: "d3" },
numeric: { exports: "numeric" },
MathJax: { exports: "MathJax" }
}
});
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<!-- Initialize MathJax -->
<script type="text/x-mathjax-config">
require(["MathJax"], function (MathJax){
MathJax.Hub.Register.StartupHook("AsciiMath Jax Config", function () {
var AM = MathJax.InputJax.AsciiMath.AM;
AM.symbols.push(
{input:"mathbi",tag:"mstyle",atname:"mathvariant",atval:"bold-italic",
output:"mathbi",tex:null,ttype:AM.TOKEN.UNARY}
);
});
MathJax.Hub.Config({
showProcessingMessages: false,
skipStartupTypeset: true,
tex2jax: {
inlineMath: [ ["\\(","\\)"] ],
displayMath: [ ["\\[","\\]"] ]
}
});
});
</script>
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</script>
</head>
<body>
<div class="reveal">
<div class="slides">
<section style="text-align: center">
<h1> プログラマの為の<br>数学勉強会<br>第7回</h1>
<span>
(於)ワークスアプリケーションズ<br>
中村晃一<br>
2013年10月24日
</span>
</section>
<section>
<h2>謝辞</h2>
<p>
この会の企画・会場設備の提供をして頂きました<br>
㈱ ワークスアプリケーションズ様<br>
にこの場をお借りして御礼申し上げます。
</p>
</section>
<section>
<h2> この資料について </h2>
<p>
<ul>
<li> <a href="http://nineties.github.com/math-seminar">
http://nineties.github.com/math-seminar
</a>に置いてあります。 </li>
<li> SVGに対応したブラウザで見て下さい。主要なブラウザで古いバージョンでなければ大丈夫だと思います。</li>
<li> 内容の誤り、プログラムのバグは<a href="http://twitter.com/9_ties">@9_ties</a>かkoichi.nakamur AT gmail.comまでご連絡下さい。</li>
<li> サンプルプログラムはPythonで記述しています。 </li>
</ul>
</p>
</section>
<section>
<h2 class="chapter-title"> 線型代数 </h2>
</section>
<section>
<p>
本日から<strong>線型代数学</strong>を学んでいきます。微積分学と同様に,理工学の様々な問題に取り組む上で必須の学問です。
</p>
<p>
線型代数は大きく分けて
</p>
<ul>
<li> 行列・行列式と連立一次方程式の理論 </li>
<li> 線型空間・線型写像の理論 </li>
</ul>
<p>
からなりますが,まず前者から解説を始めます。
</p>
</section>
<section>
<h2 class="chapter-title"> 行列とベクトル </h2>
</section>
<section>
<h2> 行列とベクトル </h2>
<p>
まず,<strong>行列</strong>と<strong>ベクトル</strong>についての基本的な知識をざっと確認します。
</p>
</section>
<section>
<h2> 行列 </h2>
<p>
以下のように\(m\times n\)個の数・式を縦横に並べたものを<strong>\((m,n)\)型行列</strong>と言い,アルファベットの大文字を用いて
\[ A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{pmatrix}
\]
と表します。
</p>
<p>
\(a_{ij}\)を\((i,j)\)成分と呼び,
\( a_{i1}, a_{i2}, \cdots, a_{in} \)を第\(i\)行,
\( a_{1j}, a_{2j}, \cdots, a_{mj} \)を第\(j\)列と呼びます。
</p>
<p>
また\((n,n)\)型行列を<strong>\(n\)次正方行列</strong>と呼び,\((i,i)\)成分を対角成分と呼びます。
</p>
</section>
<section>
<p>
また,\((i,j)\)成分が\(a_{ij}\)である\((m,n)\)型行列を
\[ (a_{ij})_{m,n} \]
や,添字の範囲を明示して
\[ (a_{ij})_{1\leq i\leq m, 1\leq i\leq n} \]
と書きます。前者の場合,添字は1から始める事にします。
</p>
<p>
例えば
\[ \begin{aligned}
(i+2j)_{2,3}
&=
\begin{pmatrix}
1+2\cdot 1 & 1+2\cdot 2 & 1+2\cdot 3 \\
2+2\cdot 1 & 2+2\cdot 2 & 2+2\cdot 3 \\
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
3 & 5 & 7 \\
4 & 6 & 8
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
という感じです。
</p>
<p>
</p>
</section>
<section>
<p>
成分が全て\(0\)の行列
\[ O = (0)_{m,n} =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0 \\
\end{pmatrix}
\]
を<strong>零行列</strong>と言います。型を明示して\(O_{m,n}\)と書く場合もあります。
</p>
</section>
<section>
<p>
対角成分が全て\(1\),それ以外が\(0\)である\(n\)次正方行列を<strong>単位行列</strong>と呼び\(E\)や\(E_n\)と表します。
\[ E_n = (\delta_{ij})_{n,n} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \\
\end{pmatrix} \]
但し,\(\delta_{ij}\)は<strong>クロネッカーのデルタ</strong>
\[\delta_{ij} = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & (i = j) \\
0 & (i \neq j)
\end{array}
\right.\]
です。
</p>
</section>
<section>
<h2> 行列の演算 </h2>
<div class="block" style="border-color:pink;font-size:90%">
<h4 style="color:pink"> 和・差・定数倍 </h4>
<p>
型が等しい行列の和・差,行列の定数倍を
\[ \begin{aligned}
&(a_{ij})_{m,n} \pm (b_{ij})_{m,n} = (a_{ij} \pm b_{ij})_{m,n} \\
&k(a_{ij})_{m,n} = (ka_{ij})_{m,n}
\end{aligned} \]
によって定義する。型が異なる行列の和・差は定義されない。
</p>
<p style="font-size:70%">
\[ \begin{aligned}
&\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & \cdots & a_{mn} \\
\end{pmatrix}
\pm
\begin{pmatrix}
b_{11} & \cdots & b_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
b_{m1} & \cdots & b_{mn} \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{11} \pm b_{11} & \cdots & a_{1n} \pm b_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} \pm b_{m1} & \cdots & a_{mn} \pm b_{mn} \\
\end{pmatrix} \\
&k\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & \cdots & a_{mn} \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
ka_{11} & \cdots & ka_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
ka_{m1} & \cdots & ka_{mn} \\
\end{pmatrix}
\end{aligned} \]
</p>
</div>
</section>
<section>
<div class="block" style="border-color:pink;font-size:90%">
<h4 style="color:pink"> 和・差・定数倍の性質 </h4>
以下の各演算が定義される場合には
\[ \begin{aligned}
A + B &= B + A \\
(A + B) + C &= A + (B + C) \\
k(A + B) &= kA + kB \\
(k + l)A &= kA + lA \\
(kl)A &= k(lA) \\
A + O &= O + A = A \\
A - A &= O
\end{aligned} \]
が成立する。
</div>
<p>
これらの成立は明らかなので証明は省略します。
</p>
</section>
<section>
<div class="block" style="border-color:pink;font-size:90%">
<h4 style="color:pink"> 行列の積 </h4>
<p>
\((l,m)\)型行列と\((m,n)\)型行列の積を
\[ (a_{ij})_{l,m}(b_{ij})_{m,n} = \left( \sum_{k=1}^m a_{ik}b_{kj} \right)_{l,n} \]
によって定義する。これ以外の型の行列の積は定義されない。
</p>
</div>
<div align="center"> <img width="700px" src="fig/matrix-multiplication.png"> </div>
</section>
<section>
<p style="font-size:80%">
具体的な行列では,以下のようになります。
\[ \begin{aligned}
&\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e & f \\
g & h
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
ae+bg & af+bh \\
ce+dg & cf+dh
\end{pmatrix}
\\
&\begin{pmatrix}
a & b & c\\
d & e & f
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
g \\ h \\ i
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
ag+bh+ci \\
dg+eh+fi
\end{pmatrix}
\\
&\begin{pmatrix}
a & b & c\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
d \\ e \\ f\\
\end{pmatrix}
=
ad+be+cf
\end{aligned} \]
</p>
<p>
最後の例のように\((1,1)\)型行列は一つの数と同一視出来るので,括弧を外して書くこともあります。
</p>
</section>
<section style="font-size:80%">
<div class="block" style="border-color:lightgreen">
<h4 style="color:lightgreen"> 練習 </h4>
<p>
好きな言語で行列の和・差・定数倍・積を計算するプログラムを書いて下さい。もしくは,既存ライブラリの使い方を調べて下さい。
</p>
</div>
<p>
例えばPythonだとNumPyというライブラリを利用できます。練習として自前で実装すると以下のようなコードとなります。
</p>
<pre><code class="python" style="max-height:400px"># -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
def mat_add(a, b): # 行列の和
if a.shape != b.shape:
raise ArithmeticError, u"行列の型の不一致"
(m,n) = a.shape # 行列の型
r = np.zeros( (m,n) )
for i in xrange(m):
for j in xrange(n):
r[i,j] = a[i,j] + b[i,j]
return r
def mat_scale(k, a): # 行列の定数倍
(m,n) = a.shape
r = np.zeros( (m,n) )
for i in xrange(m):
for j in xrange(n):
r[i,j] = k * a[i,j]
return r
def mat_mul(a, b): # 行列の積
(l, m) = a.shape
(m2, n) = b.shape
if m != m2:
raise ArithmeticError, u"行列の型の不整合"
c = np.zeros( (l,n) )
for i in xrange(l):
for j in xrange(n):
v = 0
for k in xrange(m):
v += a[i,k] * b[k,j]
c[i,j] = v
return c
a = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
b = np.array([[2,1,4],[5,2,1]])
print mat_add(a, b)
print mat_scale(2, a)
a = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
b = np.array([[2,1,4],[5,2,1],[0,1,3]])
print mat_mul(a, b)
</code></pre>
</section>
<section>
<h2> 行列演算の計算量 </h2>
<p>
少し話題を変えて,行列演算の計算量について考えて見ましょう。
</p>
<p>
\((m,n)\)型行列の和・差・定数倍はもちろん\(\color{yellow}{\mathcal{O}(mn)}\)です。
</p>
<p>
\((l,m)\)型行列と\((m,n)\)型行列の積
\[ (a_{ij})_{l,m}(b_{ij})_{m,n} = \left( \sum_{k=1}^m a_{ik}b_{kj} \right)_{l,n} \]
の計算では,\( \sum_{k=1}^m a_{ik}b_{kj} \)の計算に\(m\)回の加算と乗算が必要で,これが\(ln\)要素あるので\(\color{yellow}{\mathcal{O}(lmn)}\)の計算量となります。
</p>
</section>
<section>
<p>
現実の問題では,数万とか数億といった次元の行列を扱わなければならなくなりますが,
例えば倍精度浮動小数点数の百万次正方行列を使う場合
</p>
<ul>
<li> 行列一つあたり,
\[ \text{8バイト}\times(\text{百万}\times \text{百万})\text{要素} \approx \text{7.3テラバイト} \]
のメモリが必要で </li>
<li>
行列を二つ掛ける為に
\( \text{百万}^3 = \text{百京}\)回の加算・乗算が必要
</li>
</ul>
<p>
という事になります。
</p>
<p>
こんな計算を力技で行う事は困難ですので,問題を数学的に良く考察し適切にデータ構造・アルゴリズムを選択する事が重要となります。
</p>
</section>
<section>
<p>
話題を戻して,行列積の性質を確認していきます。
</p>
<div class="block" style="border-color:pink;font-size:90%">
<h4 style="color:pink"> 行列積の性質 </h4>
以下の等式が各演算が定義される場合において成立する。
\[ \begin{aligned}
A(BC) &= (AB)C \qquad\text{(結合則)}\\
A(B+C) &= AB+AC \qquad\text{(右分配則)}\\
(A+B)C &= AC+BC \qquad\text{(左分配則)}\\
\end{aligned} \]
</div>
</section>
<section style="font-size:80%">
<p>
\( A = (a_{ij})_{m,n}\)という表記を利用して記述する証明に慣れておきましょう。
</p>
<p>
【\(A(BC)=(AB)C\)の証明】<br>
\[ \begin{aligned}
A(BC) &= (a_{ij})_{s,t}((b_{ij})_{t,u}(c_{ij})_{u,v})= (a_{ij})_{s,t}\left(\sum_{l=1}^ub_{il}c_{lj}\right)_{t,v} \\
&= \left(\sum_{k=1}^ta_{ik}\sum_{l=1}^ub_{kl}c_{lj}\right)_{s,v} = \left(\sum_{l=1}^u(\sum_{k=1}^ta_{ik}b_{kl})c_{lj}\right)_{s,v} \\
&= \left(\sum_{k=1}^ta_{ik}b_{kj}\right)_{s,u}(c_{ij})_{u,v} = ((a_{ij})_{s,t}(b_{ij})_{t,u})(c_{ij})_{u,v} \\
&= (AB)C
\end{aligned} \]
<span style="float:right">□</span> </p>
</p>
</section>
<section style="font-size:80%">
<p>
【\(A(B+C)=AB+AC\)の証明】<br>
\[ \begin{aligned}
A(B+C) &= (a_{ij})_{l,m}(b_{ij}+c_{ij})_{m,n} \\
&= \left(\sum_{k=1}^ma_{ik}(b_{kj}+c_{kj})\right)_{m,n}\\
&= \left(\sum_{k=1}^ma_{ik}b_{kj}+\sum_{k=1}^ma_{ik}c_{kj}\right)_{m,n}\\
&= \left(\sum_{k=1}^ma_{ik}b_{kj}\right)_{m,n}+\left(\sum_{k=1}^ma_{ik}c_{kj}\right)_{m,n}\\
&= AB+AC
\end{aligned} \]
<span style="float:right">□</span> </p>
</p>
<p>
\((A+B)C=AC+BC\)の証明も同様です。
</p>
</section>
<section>
<p>
正方行列\(A\)を\(n\)個掛ける場合,結合則より掛ける順番は任意なので単純に\(A^n\)と書くことが出来ます。
</p>
<div class="block" style="border-color:pink;font-size:90%">
<h4 style="color:pink"> 正方行列の累乗 </h4>
<p> \(A\)を正方行列,\(n\)を自然数とする。<br>
\(A\)を\(n\)個掛けたものを
\[ A^n = A\cdot A\cdots A \]
と書く。また
\[ A^0 = E \]
と定める。
</p>
</div>
</section>
<section>
<div class="block" style="border-color:pink;font-size:90%">
<h4 style="color:pink"> 単位行列・ゼロ行列との積 </h4>
<p>
\(A\)を\((m,n)\)型行列とすると
\[ \begin{aligned}
&O_{l,m}A = O_{l,n},\ AO_{n,l} = O_{m,l} \\
&E_m A = A E_n = A
\end{aligned} \]
が成り立つ。
</p>
</div>
<p style="font-size:80%">
【証明】<br>
零行列の方は明らかに成立します。単位行列の方は
\[ E_m A = \left(\sum_{k=1}^m\delta_{ik}a_{kj}\right)_{m,n} = (a_{ij})_{m,n} = A \quad\text{($\because \delta_{ii}$のみ1,他は0)} \]
となります。\(AE_n = A\)も同様です。
<span style="float:right">□</span> </p>
</p>
</section>
<section>
<p>
以上の性質から解る様に,行列の計算規則は通常の文字式の計算規則と殆ど同じです。但し,以下の二点に関しては注意が必要です。
</p>
<div class="block" style="border-color:pink;font-size:90%">
<h4 style="color:pink"> 積の非可換性 </h4>
一般に
\[ AB \neq BA \]
</div>
<p style="font-size:70%">
例えば
\[
\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 8 & 7 \end{pmatrix}
,\qquad
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}
\]
</p>
<div class="block" style="border-color:pink;font-size:90%">
<h4 style="color:pink"> 零因子の存在 </h4>
\[ AB = O \ \not\Rightarrow\ A = O\text{または} B = O \]
</div>
<p style="font-size:70%">
例えば
\[
\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
\]
</p>
</section>
<section>
<p>
非可換性によって,数式の展開公式は使えなくなります。
\[ \begin{aligned}
(A+B)^2 &= (A+B)(A+B) \\
&= A^2+AB+BA+B^2 \\
&\neq A^2+2AB+B^2
\end{aligned} \]
また,方程式を因数分解によって解くことも出来ません。
\[ \begin{aligned}
X^2-3X+2E = O\ &\Leftrightarrow\ (X-E)(X-2E) = O\\
&\not\Rightarrow\ X = E, 2E
\end{aligned} \]
</p>
</section>
<section>
<h2> 行列の転置 </h2>
<div class="block" style="border-color:pink;font-size:90%">
<p>
行列\(A = (a_{ij})_{m,n}\)に対して,その<strong>転置行列</strong>を
\[ A^T = (a_{ji})_{n,m} \]
と定義する。
</p>
<p style="font-size:70%">
\[ A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{pmatrix}
\Rightarrow
A^T = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{1m} & a_{2m} & \cdots & a_{nm} \\
\end{pmatrix}
\]
</p>
<p>
また,正方行列\(A\)が\(A^T = A\)を満たすとき,これを<strong>対称行列</strong>,\(A^T=-A\)を満たすとき<strong>交代行列</strong>という。
</p>
</div>
</section>
<section>
<div class="block" style="border-color:pink;font-size:90%">
<h4 style="color:pink"> 転置行列の性質 </h4>
<p>
以下の等式が各演算が定義される場合において成立する。
\[ \begin{aligned}
(A^T)^T &= A \\
(A+B)^T &= A^T + B^T \\
(kA)^T &= kA^T \\
(AB)^T &= B^TA^T \\
\end{aligned} \]
</p>
</div>
<p style="font-size:70%">
最初の3つは自明だと思います。最後の一つだけ証明しましょう。<br>
【\((AB)^T=B^TA^T\)の証明】<br>
\(A\)が\((l,m)\)型,\(B\)が\((m,n)\)型のとき
\[
(AB)^T = \left(\sum_{k=1}^m a_{ik}b_{kj}\right)^T_{l,n} =
\left(\sum_{k=1}^m a_{jk}b_{ki}\right)_{n,l} = (b_{ji})_{n,m}(a_{ji})_{m,l} = B^TA^T
\]
<span style="float:right">□</span> </p>
</p>
</section>
<section style="font-size:80%">
<div class="block" style="border-color:lightgreen">
<h4 style="color:lightgreen">練習問題</h4>
<p>
任意の正方行列\(A\)に対して
\[ S = \frac{A+A^T}{2},\ T=\frac{A-A^T}{2} \]
とおくと,\(S\)は対称行列,\(T\)は交代行列となる事を証明して下さい。
</p>
<p>
すると\(A = S + T\)が成立するので,任意の正方行列は対称行列と交代行列の和で表せる事が判ります。
</p>
<p>
以下の行列を対称行列と交代行列に分解して下さい。
\[
\begin{pmatrix}
1 & 5 & 2 \\
2 & 1 & 3 \\
4 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\]
</p>
</div>
<p class="fragment" style="font-size:70%">
【答え】<br>
\[
\begin{pmatrix} 1 & 5 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 1 & \frac72 & 3 \\ \frac72 & 1 & \frac52 \\ 3 & \frac52 & 1 \end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix} 0 & \frac32 & -1 \\ -\frac32 & 0 & \frac12 \\ 1 & -\frac12 & 0 \end{pmatrix}
\]
</p>
</section>
<section>
<h2> ベクトル </h2>
<p>
数や式を\(n\)個を縦に並べたものを<strong>\(n\)次元列ベクトル</strong>と言い,ボールド体を用いて
\[ \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \]
と表します。また全ての成分が\(0\)の列ベクトルを<strong>零ベクトル</strong>と言い0と表します。
</p>
<p>
同様に\(n\)個を横に並べたものを<strong>\(n\)次元行ベクトル</strong>と言い,
\[ \mathbf{x}^T = \begin{pmatrix} x_1 & \cdots & x_n \end{pmatrix} \]
などと表します。
</p>
<p>\(x_i\)をこれらベクトルの第\(i\)成分と呼びます。
</p>
</section>
<section>
<p>
\(n\)次元列ベクトルは\((n,1)\)型行列,行ベクトルは\((1,n)\)型行列でもあります。行列と全く同じ演算規則が適用されます。
</p>
<p style="margin-top:1em">
この勉強会では主に実数成分のベクトル(実ベクトル)を考えます。実数成分の\(n\)次元列ベクトルの集合を<strong> \(\mathbb{R}^n\) </strong>と表します。
</p>
<p style="margin-top:1em">
列ベクトルと行ベクトルは常に区別されますので注意して下さい。
今後,単に「ベクトル」と言った場合,それは列ベクトルの事であるとします。
</p>
</section>
<section>
<div class="block" style="border-color:pink;font-size:90%">
<h4 style="color:pink"> ベクトルの内積・ノルム </h4>
<p>
\(n\)次元実ベクトル\(\mathbf{x}, \mathbf{y}\)に対して
\[ (\mathbf{x}, \mathbf{y}) = x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n \]
を<strong>内積</strong>と言う。
</p>
<p>
また,実ベクトル\( \mathbf{x} = (x_1,\cdots,x_n)^T \)に対して
\[ ||\mathbf{x}||=\sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2} \]
をベクトルの<strong>ノルム</strong>(ユークリドッドノルム)と言う。
</p>
</div>
<p style="font-size:80%">
【注】 ベクトルの内積・ノルムという概念は実際にはその性質によって抽象的に定義され,上の定義以外にも様々な内積・ノルムが存在します。しかし,よく使われる上の定義だけをここでは考える事にします。
</p>
</section>
<section>
<p>
ベクトルの内積・ノルムは,行列の記法を利用すれば
\[ \begin{aligned}
(\mathbf{x}, \mathbf{y}) &=
\begin{pmatrix}x_1&\cdots&x_n\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}y_1\\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix}
=
\color{yellow}{\mathbf{x}^T\mathbf{y}} \\
||\mathbf{x}||^2 &= (\mathbf{x},\mathbf{x}) = \color{yellow}{\mathbf{x}^T\mathbf{x}}
\end{aligned} \]
と記述する事が出来ます。
</p>
</section>
<section>
<div class="block" style="border-color:lightgreen">
<h4 style="color:lightgreen">練習問題</h4>
\(n\)次元ベクトル\(\mathbf{x}, \mathbf{y}\)と,\(n\)次正方行列\(A\)について
\[ (A\mathbf{x}, \mathbf{y}) = (\mathbf{x}, A^T\mathbf{y}) \]
である事を示して下さい。
</div>
<p class="fragment" style="font-size:70%">
【証明】
\[ (A\mathbf{x}, \mathbf{y}) = (A\mathbf{x})^T\mathbf{y} = \mathbf{x}^TA^T\mathbf{y}=(\mathbf{x}, A^T\mathbf{y}) \]
<span style="float:right">□</span> </p>
</p>
</section>
<section>
<div class="block" style="border-color:pink;font-size:90%">
<h4 style="color:pink"> コーシー・シュワルツの不等式 </h4>
<p>
\(n\)次元実ベクトル\(\mathbf{x},\mathbf{y}\)に対して
\[ ||\mathbf{x}||^2||\mathbf{y}||^2 \geq (\mathbf{x},\mathbf{y})^2 \]
が成立する。等号はある実数\(t\)が存在して\(\mathbf{y}=t\mathbf{x}\)となる時に成立する。
</p>
<p>
</p>
</div>
<p style="font-size:70%">
【証明】<br>
\[ (tx_i-y_i)^2 = x_i^2t^2-2x_iy_it+y_i^2\geq 0 \]
を\(i = 1,\cdots,n\)について加えて
\[ (x_1^2+\cdots+x_n^2)t^2-2(x_1y_1+\cdots+x_ny_n)t+(y_1^2+\cdots+y_n^2)\geq 0 \]
が任意の実数\(t\)について成立する。従って左辺の判別式を考えて
\[ D\leq 0\ \Leftrightarrow\ (x_1y_1+\cdots+x_ny_n)^2-(x_1^2+\cdots+x_n^2)(y_1^2+\cdots+y_n^2)\leq 0 \]
である。
<span style="float:right">□</span> </p>
</p>
</section>
<section>
<div class="block" style="border-color:pink;font-size:90%">
<h4 style="color:pink"> 内積・ノルムの性質 </h4>
<p>
内積に関して
\[ \begin{aligned}
(\mathbf{x}, \mathbf{y}) &= (\mathbf{y}, \mathbf{x}) \\
(k\mathbf{x}, \mathbf{y}) &= k(\mathbf{x}, \mathbf{y})\\
(\mathbf{x}+\mathbf{y}, \mathbf{z}) &= (\mathbf{x},\mathbf{z}) + (\mathbf{y},\mathbf{z})
\end{aligned} \]
が成立する。
</p>
<p>
また,ノルムに関して
\[ \begin{aligned}
&||k\mathbf{x}|| = |k|\,||\mathbf{x}|| \\
&||\mathbf{x}+\mathbf{y}||\leq ||\mathbf{x}||+||\mathbf{y}|| \quad\text{(三角不等式)}
\end{aligned} \]
が成立する。
</p>
</div>
</section>
<section>
<p style="font-size:80%">
【三角不等式の証明】<br>
\[ \begin{aligned}
||\mathbf{x}+\mathbf{y}||^2 &= (x_1+y_1)^2 + \cdots + (x_n+y_n)^2 \\
&= x_1^2+\cdots+x_n^2 + y_1^2 + \cdots + y_n^2 + 2(x_1y_1 + \cdots + x_ny_n) \\
&= ||\mathbf{x}||^2 + ||\mathbf{y}||^2 + 2(\mathbf{x},\mathbf{y}) \\
&\leq ||\mathbf{x}||^2+||\mathbf{y}||^2 + 2||\mathbf{x}|| ||\mathbf{y}|| \qquad\text{(コーシー・シュワルツの不等式)}\\
&= (||\mathbf{x}|| + ||\mathbf{y}||)^2
\end{aligned}
\]
<span style="float:right">□</span>
</p>
<p>
その他の性質の証明は省略します。
</p>
</section>
<section>
<h2> 小行列への分解 </h2>
<p>
\[
\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
A & B \\ C & D
\end{pmatrix}
\]
\[
A = \begin{pmatrix} a & b \\ d & e \end{pmatrix},
B = \begin{pmatrix} c \\ f \end{pmatrix},
C = \begin{pmatrix} g & h \end{pmatrix},
D = (i)
\]
の様に行列を<strong>小行列</strong>へ分解する操作もよく行われます。
</p>
</section>
<section>
<p>
行列\(X,Y\)を小行列\(A,B,C,D,E,F,G,H\)へ分解したとき,以下の各演算が定義されるならば
\[ \begin{aligned}
XY &= \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} E & F \\ G & H \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
AE+BG & AF+BH \\ CE+DG & CF+DH
\end{pmatrix}
\end{aligned} \]
が成立します。これの成立も明らかでしょう。
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例えば,行列\(A\)を各列ベクトルに分解して
\[ BA = B(\mathbf{a_1}, \cdots, \mathbf{a_n}) = (B\mathbf{a_1},\cdots,B\mathbf{a_n}) \]
と書くといった事が良く行われます。
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<h2> 行列・ベクトルで何を表すのか？ </h2>
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さて,行列・ベクトルの定義と演算を確認しましたが,これらを一体どのように利用するのかイメージが湧かない方もいるでしょう。
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そこで,行列・ベクトルで表すことの出来る様々な問題を紹介します。様々な読者を想定していろんな話をしますが、個別の話は解らない事があっても良いです。線型代数はほぼありとあらゆる場面で必要となるのだということが解ってもらえれば結構です。
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<h2> 連立一次方程式 </h2>
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連立一次方程式
\[ \left\{\begin{array}{c}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n = b_1 \\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n = b_2 \\
\vdots \\
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n = b_m
\end{array}\right.
\]
は
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}
\]
と表す事が出来ます。多くの問題が連立一次方程式を解く事に帰着します。
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<h2> 連立一次漸化式 </h2>
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全く同じ事ですが,連立漸化式
\[ \left\{\begin{array}{c}
x_1(i+1) = a_{11}x_1(i)+a_{12}x_2(i)+\cdots+a_{1n}x_n(i) \\
x_2(i+1) = a_{21}x_1(i)+a_{22}x_2(i)+\cdots+a_{2n}x_n(i) \\
\vdots \\
x_n(i+1) = a_{n1}x_1(i)+a_{m2}x_2(i)+\cdots+a_{nn}x_n(i)
\end{array}\right.
\]
も
\[
\begin{pmatrix} x_1(i+1) \\ x_2(i+1) \\ \vdots \\ x_n(i+1) \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x_1(i) \\ x_2(i) \\ \vdots \\ x_n(i) \end{pmatrix}
\]
と表されます。
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漸化式が
\[ \mathbf{x}_{i+1} = A\mathbf{x}_i \]
と表される場合,
\[ \mathbf{x}_i = A\mathbf{x}_{i-1} = AA\mathbf{x}_{i-2} = \cdots = A^i\mathbf{x}_0 \]