LabGenExample/main.xhtml at master · ogmudbone/LabGenExample · GitHub

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="en" lang="en">

<?js
    includeScript('script/include.js');
?>

    <head>
        <title>Lab1</title>
        <link rel="stylesheet" href="css/Main.css" type="text/css" />
    </head>

    <body>
    <?js


            var inputMatrix = new Matrix([

                9.5, 1.5, 2.5, 0.5,
                1.5, 6.5, 3.3, 1,
                2.5, 3.3, 8,   3,
                0.5, 1,   3,   2.1

            ], 4);

            var eigenVectors = [
                new Vector([
                    -0.57741,  -0.449703,  -0.64124,  -0.230601
                ]),
                new Vector([
                    0.813871,  -0.352782,  -0.407201, -0.217592
                ]),
                new Vector([
                    -0.0282627, -0.817153,   0.489572,  0.302956
                ]),
                new Vector([
                    0.0584194,  0.0746581, -0.428157,  0.898718
                ]),
            ];

            ?>
    <div class="page">

        <h1 class="f-s_14 text_center">
            Міністерство освіти і науки України<br/>
            Національний технічний університет України<br/>
            “Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського”
        </h1>
        <p class="text_center m-t_5p">Кафедра Прикладної Математики</p>
        <p class="m-t_20p text_center">Лабораторна робота № 1</p>
        <p class="text_center">з дисципліни “Методи обчислень”</p>

        <div class="p_10p">
            <p>
                <b>Виконав:</b>
            </p>
            <p>
                <b> Студент групи КМ-43 Ігнатьєв Богдан</b>
            </p>
            <p class="m-t_30pt">
                <b>Перевірив:</b>
            </p>
            <p>
                <b>Викладач _______________________ Оцінка ____________ </b>
            </p>
        </div>

        <span class="bottom">Київ-2016</span>

    </div>

    <?js

            var pageWidget = new PagesWidget({});
            pageWidget.next({title : 'ЗАВДАННЯ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ'});
    ?>

    <h1>
        1.	ЗАВДАННЯ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ
    </h1>

    <ol>
        <li>
            Користуючись теоремою Гершгоріна, знайти область, в яку потрапляють власні числа заданої матриці.
        </li>
        <li>
            Користуючись програмними математичними пакетами, знайти власні пари   матриці.
        </li>
        <li>
            Користуючись QR-алгоритмом, знайти власні числа матриці.
        </li>
        <li>
            Перевірити, чи отримані власні пари дійсно є власними парами заданої матриці.
        </li>
        <li>
            Оформити та захистити отримані результати.
        </li>
    </ol>

    <p class="m-t_5p m-b_5p">
        Варіант 7:
    </p>

    <?js matrixWidget(inputMatrix, "A=", undefined, {'font-size' : 20}); pageWidget.next({
            title : 'ЗНАЙТИ ОБЛАСТЬ, В ЯКУ ПОТРАПЛЯЮТЬ ВЛАСНІ ЧИСЛА ЗАДАНОЇ МАТРИЦІ ЗА ТЕОРЕМОЮ ГЕРШГОРІНА'
            });?>

    <h2>2.	ЗНАЙТИ ОБЛАСТЬ, В ЯКУ ПОТРАПЛЯЮТЬ ВЛАСНІ ЧИСЛА ЗАДАНОЇ МАТРИЦІ ЗА ТЕОРЕМОЮ ГЕРШГОРІНА</h2>

    <p>Розв’язок:</p>

    <p>Маємо квадратну матрицю розмірністю 4х4. Тоді згідно з теоремою Гершгоріна: </p>

    <latex>

        \sum_{j = 1, j\ne i}^n a_{ij} , j=1,...n

    </latex>

    <p>
        Кожне власне число матриці A знаходиться хоча б в одному з кіл
    </p>

    <latex>

        \{ z:|z-a_{ii}| \le R_{i} \}, i=1...n.

    </latex>
    <br/>
    <?js
            var profiler = new EquationProfiler();
            gershgorinCircles(inputMatrix, profiler);
            gershgorinCirclesWidget(profiler);
    ?>

    <p>
        Кола Гершгоріна перетинаються, при цьому всі числа належать відрізку [-5.0 ; 16.8].
    </p>

    <?js pageWidget.next({title : 'ВИКОРИСТОВУЮЧИ МАТЕМАТИЧНІ ПАКЕТИ ЗНАЙТИ ВЛАСНІ ПАРИ ЗАДАНОЇ МАТРИЦІ'});?>

    <h2>
        3.	ВИКОРИСТОВУЮЧИ МАТЕМАТИЧНІ ПАКЕТИ ЗНАЙТИ ВЛАСНІ ПАРИ ЗАДАНОЇ МАТРИЦІ
    </h2>

    <p>
        Власні числа:
    </p>

    <img src="images/eigenvalues.jpg"/>

    <p>
        Відповідні власні вектори:
    </p>

    <img src="images/eigenvectors.jpg"/>

    <p>Посилання на математичний пакет: </p>

    <a
        href="http://www.wolframalpha.com/input/?i=eigenvalues%7B%7B9.5,1.5,2.5,0.5%7D,%7B1.5,6.5,3.3,1%7D,%7B2.5,3.3,8,3%7D,%7B0.5,1,3,2.1%7D%7D"
    >http://www.wolframalpha.com/input/?i=eigenvalues%7B%7B9.5,1.5,2.5,0.5%7D,%7B1.5,6.5,3.3,1%7D,%7B2.5,3.3,8,3%7D,%7B0.5,1,3,2.1%7D%7D</a>

    <?js pageWidget.next({title : 'КОРИСТУЮЧИСЬ QR-АЛГОРИТМОМ, ЗНАЙТИ ВЛАСНІ <br/> ЧИСЛА МАТРИЦІ'});?>

    <h2>
        4.	КОРИСТУЮЧИСЬ QR-АЛГОРИТМОМ, ЗНАЙТИ ВЛАСНІ ЧИСЛА МАТРИЦІ
    </h2>

    <h3>І етап.</h3>

    <?js
            profiler = new EquationProfiler();
            var resultMatrix = qrAlgorythm(inputMatrix, 0.001, profiler);
            toTridiagonalWidget(profiler.getSteps('to_tridiagonal'));
    ?>

    <?js pageWidget.next();?>

    <h3>II етап.</h3>

    <?js

            var qrGivensSteps = profiler.getSteps('qr_givens_reduce');
            var qrEndSteps = profiler.getSteps('qr_end');
            var qrIterationSteps = profiler.getSteps('qr_algorythm_iteration');

            var givensStepsIndex = 0;
            for(var i = 0;i < qrEndSteps.length;i++){

                qrAlgorythmWidget(qrGivensSteps.slice(givensStepsIndex, givensStepsIndex + 3));
                givensStepsIndex += 3;
                pageWidget.next();
                qrAlgorythmWidget(qrEndSteps.slice(i, i+1));
                qrAlgorythmWidget(qrIterationSteps.slice(i, i+1));
                if(i+1 < qrEndSteps.length)
                    pageWidget.next();
            }

     ?>

    <p>
        На цьому етапі я припинив розрахунки. Задана точність досягнута.
        Власні числа збігаються з тими, які були зайдені за допомогою ресурсу wolframalfa
    </p>
    <p>
        Відповідь:
    </p>

    <?js var processedResult = normalizeNumbers(resultMatrix.toArray());
            var eigenvalues = [
                processedResult[0][0], processedResult[1][1],
                processedResult[2][2], processedResult[3][3]
            ];
            ?>

    <latex>
        \lambda_{1} = <% eigenvalues[0] %>, \lambda_{2} = <% eigenvalues[1] %>,
        \lambda_{3} = <% eigenvalues[2] %>, \lambda_{4} = <% eigenvalues[3] %>
    </latex>

    <p>
        З точністю <latex font-size="20">\epsilon = 0.001</latex>
    </p>

    <?js pageWidget.next({
        title : 'ПЕРЕВІРКА НА ПРАВИЛЬНІСТЬ ЗНАЙДЕНИХ ПАР <br/> ЗАДАНОЇ МАТРИЦІ'
    });?>

    <h2>
        5.	ПЕРЕВІРКА НА ПРАВИЛЬНІСТЬ ЗНАЙДЕНИХ ПАР ЗАДАНОЇ МАТРИЦІ
    </h2>

    <p>Перевірка за формулою: </p>

    <latex>
        Ax = \lambda x
    </latex>

    <?js

            for(var i = 0;i < 4;i++){

                var matrixOnVectorResult   = inputMatrix.multiply(eigenVectors[i]);
                var eigenValOnVectorResult = eigenVectors[i].multiply(eigenvalues[i]);

                if(i == 2)
                    pageWidget.next();

                echo('<p>Перевірка ' + (i + 1) + ' пари:</p>');
                eigenCheckWidget({
                    index            : i,
                    eigenVector      : eigenVectors[i],
                    eigenValue       : eigenvalues[i],
                    inputMatrix      : inputMatrix,
                    withMatrixResult : matrixOnVectorResult,
                    withValueResult  : eigenValOnVectorResult
                });

            }

    ?>

    <?js pageWidget.next({
        title : 'ВИСНОВОК'
    });?>

    <h1 class="text_center">ВИСНОВОК</h1>
    <p>
        Під час виконання лабораторної роботи я навчився знаходити область,
        в яку потрапляють власні числа заданої матриці за теоремою Гершгоріна.
        За допомогою математичних пакетів, а також онлайн ресурсу wolframalpha,
        знайшов власні пари для заданої матриці. Користуючись QR алгоритм, знайшов
        власні числа матриці. Перевірив на правильність знайдені власні пари.
    </p>
    <?js pageWidget.end();?>
    </body>

</html>