come valutare f su valori X "fittizi"?

[AndreaPi]

Quasi tutti i metodi numerici più accurati di Eulero esplicito richiedono di valutare dynamic_f (il RHS del sistema SIR) per dei valori X "fittizi" che non corrispondono ad alcun valore reale della variabile X. Per esempio, metodo di Heun, eq. 11.10:

http://www.ceri.memphis.edu/people/echoi2/ceri8315/Quarteroni-ComputMath-Ch11.pdf

Usando come template il codice di euler,
https://github.com/enricomeloni/covid-tools/blob/baeb5ad140a9742ebab466fbf497d8c6aaccdd70/torch_euler.py#L36

otterremmo per il metodo di Heun:

def Heun (f, omega, time_grid):
    """

    :param f: function describing the differential equations
    :param omega: function returning values from -inf to 0 as a N-Dim tuple
    :param time_grid: 1-Dim tensor representing the time-grid on which to integrate
    :return: 1-Dim tensor the same size as time_grid with values computed on the time grid

    NOTE: only expected to be second-order accurate if dt is constant
    """

    y0 = torch.tensor([omega(0)])
    time_grid = time_grid.to(y0[0])
    values = y0


    for i in range(0, time_grid.shape[0] - 1):
        t_i = time_grid[i]
        t_next = time_grid[i+1]
        y_i = values[i]
        dt = torch.tensor([t_next - t_i])
        t_series = TimeSeries(time_grid, values, omega)
        f1 = torch.stack(tuple(f_t.unsqueeze(0) for f_t in f(t_i, t_series, dt)), dim=1)
        f2 = torch.stack(tuple(f_t.unsqueeze(0) for f_t in f(t_next, ...., dt)), dim=1)
        dy = 0.5*dt*(f1+f2)
        y_next = y_i + dy
        #y_next = y_next.unsqueeze(0)
        values = torch.cat((values, y_next), dim=0)

    return values

Nel calcolo di f2, ho bisogno di bisogno di valutare f nel punto (t_next, y_i + f1)...ma dato che y_i + f1 è un valore che non viene mai realmente assunto dalla funzione, non c'è in t_series. Come faccio a passarlo?