Добавлена теория по дереву Фенвика

doc/topic2/FenwickTree.md

@@ -0,0 +1,135 @@
+# Дерево Фенвика (Fenwick Tree, Binary Indexed Tree)
+
+**Дерево Фенвика** — это структура данных, которая позволяет эффективно вычислять **префиксные суммы** (суммы элементов массива от начала до заданной позиции) и поддерживать **обновление элементов** за время **O(log n)**. Оно требует **O(n)** памяти.
+
+Пусть дан массив `a` длины `n`. Деревом Фенвика называется массив `t` той же длины, определённый следующим образом:
+
+\[ t_i = \sum_{k=F(i)}^{i} a_k \]
+
+где `F` — некоторая функция, удовлетворяющая условию \( F(i) \leq i \). Конкретное определение функции `F` будет дано позже.
+
+### Основные операции:
+1. **Запрос суммы (prefix sum)** — получение суммы элементов от начала массива до позиции `i`.
+2. **Обновление элемента** — изменение значения элемента и корректировка структуры.
+
+## Запрос суммы
+
+Для вычисления суммы на отрезке `[l, r]` запрос сводится к двум суммам на префиксе:  
+\[ \text{sum}(l, r) = \text{sum}(r) - \text{sum}(l - 1) \]  
+
+Каждая из этих сумм вычисляется рекурсивно:  
+\[ \text{sum}(k) = t_k + \text{sum}(F(k) - 1) \]
+
+## Запрос обновления
+
+При изменении элемента `a[k]` необходимо обновить все ячейки `t_i`, в которых учтён этот элемент.
+
+Функцию `F` можно выбрать таким образом, что количество операций при подсчёте суммы и обновлении будет \( O(\log n) \). Распространены два варианта функции `F`:
+
+1. \( F_1(x) = x \& (x + 1) \)  
+2. \( F_2(x) = x - (x \& -x) + 1 \)  
+
+Первый вариант часто встречается в учебных материалах, таких как Викиконспекты и Емакс, и поэтому более известен. Второй вариант проще для запоминания и реализации, а также обладает большей гибкостью — например, позволяет выполнять бинарный поиск по префиксным суммам. Именно второй вариант будет использоваться в дальнейшем.
+
+## Преимущества:
+- Простота реализации.
+- Эффективность: обе операции работают за **O(log n)**.
+- Меньшая константа по сравнению с деревом отрезков.
+
+## Недостатки:
+- Менее гибкое, чем дерево отрезков (например, не поддерживает все виды запросов, которые можно делать в дереве отрезков).
+
+---
+
+## Принцип работы
+
+Дерево Фенвика использует идею **бинарного представления индексов**. Каждый элемент дерева хранит сумму некоторого диапазона исходного массива. 
+
+## Пример для массива из 8 элементов:
+```
+Дерево Фенвика:
+F[1] = A[1]
+F[2] = A[1] + A[2]
+F[3] = A[3]
+F[4] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4]
+F[5] = A[5]
+F[6] = A[5] + A[6]
+F[7] = A[7]
+F[8] = A[1] + A[2] + ... + A[8]
+```
+
+### Пример кода на C++
+
+```cpp
+#include <iostream>
+#include <vector>
+
+class FenwickTree {
+private:
+    std::vector<int> tree;
+
+public:
+    FenwickTree(int size) : tree(size + 1, 0) {}
+
+    // Обновление элемента: добавляем delta к A[pos]
+    void update(int pos, int delta) {
+        for (; pos < tree.size(); pos += pos & -pos) {
+            tree[pos] += delta;
+        }
+    }
+
+    // Запрос суммы: сумма элементов от A[1] до A[pos]
+    int query(int pos) {
+        int sum = 0;
+        for (; pos > 0; pos -= pos & -pos) {
+            sum += tree[pos];
+        }
+        return sum;
+    }
+
+    // Запрос суммы на отрезке [l, r]
+    int rangeQuery(int l, int r) {
+        return query(r) - query(l - 1);
+    }
+};
+
+int main() {
+    std::vector<int> arr = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; // Индексация с 1 для удобства
+
+    FenwickTree fenwick(arr.size() - 1); // Игнорируем 0-й элемент
+
+    // Построение дерева
+    for (int i = 1; i < arr.size(); ++i) {
+        fenwick.update(i, arr[i]);
+    }
+
+    // Запрос суммы первых 5 элементов
+    std::cout << "Sum of first 5 elements: " << fenwick.query(5) << std::endl; // 1+2+3+4+5 = 15
+
+    // Запрос суммы на отрезке [2, 5]
+    std::cout << "Sum from 2 to 5: " << fenwick.rangeQuery(2, 5) << std::endl; // 2+3+4+5 = 14
+
+    // Обновление элемента A[3] += 10
+    fenwick.update(3, 10);
+
+    // Проверка суммы после обновления
+    std::cout << "Sum of first 5 after update: " << fenwick.query(5) << std::endl; // 15 + 10 = 25
+
+    return 0;
+}
+```
+
+#### Вывод программы:
+```
+Sum of first 5 elements: 15
+Sum from 2 to 5: 14
+Sum of first 5 after update: 25
+```
+
+### Применение
+Дерево Фенвика часто используется в задачах:
+- Подсчет суммы на префиксе или отрезке.
+- Решение задач на инверсии в перестановках.
+- Оптимизация динамического программирования.
+
+Это мощный инструмент для задач, где важна скорость работы с префиксными суммами