Замкнутость классов языков относительно операций

[HumsterProgrammer]

Продолжаю заливать материалы, которые готовил в время семестра ТФЯ. На этот раз табличка с замкнутостью классов языков относительно различных операций. Но в исходной версии было достаточно много ошибок, поэтому заполняю с относительного нуля и расширил дополнительными операциями. Кроме этого после таблички буду приводить доказательства утверждений.
P.S. также вдохновлено фармой и экзаменом

• конечные языки
• регулярные языки
• Ограниченные языки
• VPL
• DCFL
• LR(0)
• LL(k)
• CFL
• LinCFL
• LinConj
• Conj
• Rec

[TonitaN]

Денис, с конъюнктивными грамматиками есть важное отличие в структуре разбора. У нас граф с расшаренными вершинами, мы не можем стирать их без влияния на соседние :(

[TonitaN]

А вот тут есть тонкость) Если в КС-случае и регулярном мы можем сделать это очень просто, поскольку вывод каждой буквы - это путь в дереве, то в конъюнктивном случае вывод буквы - пусть в графе, и если мы стираем какие-то подграфы у него, он может поменяться.
В частности, конъюнктивные грамматики кодируют истории вычислений МТ (это довольно нетрудно понять, потому что два соседних состояния ленты можно КС-но разобрать через реверсирование). И если бы у нас была замкнутость относительно морфизмов, то конъюнктивные грамматики могли бы вывести какой угодно рекурсивный язык.
Ещё один момент - вспомним разбор языка {wcw | w in {a,b}*}. Там в графе разбора очень сильна привязка к c, и если его стереть, разбор сразу сломается.

[HumsterProgrammer]

Вечно забываю о стирающих морфизмах :(

[TonitaN]

Может, сделать отдельно все морфизмы и нестирающие?
По замкнутости относительно нестирающих морфизмов - у конъюнктивных языков это открытая проблема) (связана тоже с расшариванием подвыводов: мы не можем расшарить подвыводы для разных букв, но можем для одной и той же, в которую они отображаются, поэтому язык после нестирающего морфизма может - как минимум, есть такая гипотеза - стать шире, чем ожидаемый гомоморфный образ)

[HumsterProgrammer]

Да, хороший вариант разделить их, как разделил объединение например

[TonitaN]

Ещё одна причина их разделить)

[TonitaN]

О, кстати. Насчёт h^-1 и конечных языков. Кажется, кто-то опять забыл про стирающие морфизмы)

[HumsterProgrammer]

Если ничего не путаю, то с помощью обратного морфизма ы получаем множество слова, из которых действием морфизма мы получим слово из конечного языка.
Но если исходный морфизм(прямой морфизм) был стирающим, то тогда можно ли вообще говорить об обратном? Это же получается можно между любыми символами вставлять исходный символ, который стирался?

То есть пример. Имеем множество из одного слова {aa}, и морфизм $h(a) = a, h(b) = \varepsilon$, тогда с помощью $h^{-1}$ получим язык ${b^*ab^ab^}$

Поэтому вопрос остается прежним - имеет ли смысл обратные затирающие морфизмы?

[TonitaN]

Конечно имеют, и конечно можно ими пользоваться) Например, через них и пересечения с регулярным языком можно выразить асинхронную композицию КС-языка и регулярного языка (шаффл).

И вы правильно заметили, что они могут порождать сколь угодно длинные отрезки слов в алфавите A тех букв, которые отображаются в пустое слово. Но это просто нужно между каждыми символами, полученными нестирающим обратным морфизмом, вставить пресловутый язык A*.

[HumsterProgrammer]

Хорошо, учту и тоже раздельно рассмотрю стирающие и нестирающие прямые и обратные морфизмы

[HumsterProgrammer]

как всегда про многое хорошее додумались уже до нас.
https://doi.org/10.1016/j.cosrev.2013.06.001
Охотин в своей статье приводит огромную таблицу замкнутости классов языков относительно различных операций с соответствующими ссылками. Поэтому пока в этом пр оставлю лишь ссылку, и как будет много свободного времени(или если у кого-то будет желание помочь), то доделаю таблицу с ссылкой на Охотина