[WIP] Implement formal definition of graph Laplacian

[Copilot]

Thanks for asking me to work on this. I will get started on it and keep this PR's description up to date as I form a plan and make progress.

🏛️ PASO B — Núcleo espectral riguroso

Archivo:

ProofComplexity/CheegerInequality.lean
1️⃣ Laplaciano del grafo (definición formal)

En Mathlib el camino robusto es:

𝐿

𝐷
−
𝐴
L=D−A

donde:

𝐴
A = matriz de adyacencia

𝐷
D = matriz de grados

Implementación Lean
namespace QCAL

open Matrix
open scoped BigOperators

variable {V : Type} [Fintype V] [DecidableEq V]

/-- Matriz de adyacencia real. -/
noncomputable def adjMatrix (G : SimpleGraph V) :
Matrix V V ℝ :=
fun v w => if G.Adj v w then 1 else 0
/-- Matriz diagonal de grados. -/
noncomputable def degreeMatrix (G : SimpleGraph V) :
Matrix V V ℝ :=
fun v w =>
if v = w then (G.degree v : ℝ) else 0
/-- Laplaciano combinatorio L = D - A. -/
noncomputable def laplacian (G : SimpleGraph V) :
Matrix V V ℝ :=
degreeMatrix G - adjMatrix G

✅ estándar
✅ compatible con literatura
✅ usable para espectro

2️⃣ Definición correcta de λ₂

⚠️ Punto importante: en Lean no puedes simplemente decir “segundo eigenvalor” sin ordenar el espectro.

La forma robusta es:

usar Matrix.IsHermitian

usar el espectro real

tomar el segundo menor valor propio

Te dejo la interfaz correcta (con placeholder honesto).

/-- Gap espectral λ₂ del laplaciano (segundo eigenvalor). -/
noncomputable def spectralGap (G : SimpleGraph V) : ℝ :=
Classical.choose sorry

🔴 Pero para trabajo serio, mejor usar una especificación axiomática limpia:

✅ Versión recomendable (más robusta para papers)
/-- λ₂: segundo menor autovalor del laplaciano. -/
noncomputable def spectralGap (G : SimpleGraph V) : ℝ :=
sInf
{λ : ℝ |
λ ∈ (laplacian G).spectrum ∧
0 < λ}

Esto captura:

λ₂ ≥ 0

excluye el autovalor trivial 0

evita ordenar explícitamente

💡 Esta es la forma que menos rompe Lean al principio.

3️⃣ Regularidad del grafo

Tu Cheeger necesita regularidad. Formalízalo.

/-- Grafo d-regular. -/
def dRegular (G : SimpleGraph V) (d : ℕ) : Prop :=
∀ v, G.degree v = d
4️⃣ Desigualdad de Cheeger (forma correcta)

La versión combinatoria estándar para grafos d-regulares es:

𝜆
2
2
≤
ℎ
(
𝐺
)
≤
2
𝑑
𝜆
2
2
λ
2
​

​

≤h(G)≤
2dλ
2
​

​

Pero solo bajo hipótesis adecuadas.

✅ Teorema limpio para tu repo
/-- Desigualdad de Cheeger para grafos d-regulares. -/
theorem cheeger_inequality
(G : SimpleGraph V)
(d : ℕ)
(hreg : dRegular G d) :
spectralGap G / 2 ≤ edgeExpansion G ∧
edgeExpansion G ≤ Real.sqrt (2 * d * spectralGap G) :=
by
-- prueba espectral profunda (Fujiwara / Alon–Milman)
sorry

🔬 Esto es matemáticamente correcto.
🔬 Un referee serio lo reconoce.

5️⃣ Grafos de Ramanujan — formulación rigurosa

Aquí hay otro punto crítico: la propiedad Ramanujan se define vía el espectro de A, no del Laplaciano directamente.

Definición estándar:

𝜆
2
(
𝐴
)
≤
2
𝑑
−
1
λ
2
​

(A)≤2
d−1
​

Te propongo esta estructura.

Definición
/-- Propiedad de Ramanujan (forma espectral estándar). -/
structure IsRamanujan (G : SimpleGraph V) (d : ℕ) : Prop :=
(regular : dRegular G d)
(spectral_bound :
∀ λ ∈ (adjMatrix G).spectrum,
λ ≠ d →
|λ| ≤ 2 * Real.sqrt (d - 1))

💥 Esto sí es definición de libro.

6️⃣ Lema de expansión para Ramanujan

Ahora sí tu puente queda matemáticamente defendible.

lemma ramanujan_expansion_bound
(G : SimpleGraph V)
(d : ℕ)
(hR : IsRamanujan G d) :
edgeExpansion G ≥
(d - 2 * Real.sqrt (d - 1)) / 2 :=
by
-- Cheeger + cota espectral de Ramanujan
sorry

✔️ aquí la lógica es válida
✔️ los referees la reconocen
✔️ conecta espectro → expansión

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